[問題] 光子的頻率？

[Vulpix (Sebastian)]

【出處】(習題或問題的出處)

自我質問，但沒想清楚的問題。

【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)

一顆光子的波函數通常以 exp(ikx-iωt) 來描述。

  （此式可滿足 Maxwell's eq. in vacuum、"Schroedinger" eq. in vacuum。

    至於歸一常數不重要，而且我現在的函數必須 normalized by δ。）

  如此這道光具有波向量 k、角頻率 ω、頻率 ω/2π。

  其他像波長、動量、能量等常用物理量也全都是唯一值。

  但「光子」若以這方式表示，相當於是說這顆光子「一直」都「無所不在」，

  這與我們常見的光子「移動」現象相違背。

  （至於消失、產生等問題就先放一邊，因為方程式本身只考慮光子以外都真空。）

若將光子的波函數改以 ψ(kx-ωt) 來描述，

  其中ψ只是一個 compactly supported smooth function。

  這個描述法類似我們常用的光子圖像：一個傳播中的波包。

  （很久以前它在遙遠的彼方，過了很久以後就移動到另一方了。）

  代回 "Schroedinger" eq.，我們會發現這個表示式

  並不能符合我們對一些物理量的期待。

  雖然仍可得到 ω = ck，但 ω 卻不是 Hamiltonian/h_bar 的 eigenvalue。

  同樣 k 也不是 momentum/h_bar 的 eigenvalue。

  而不論我在每一瞬間計算 ΔK 或在每一位置計算 ΔΩ，

  （為區隔 x 的 dual vector 與 k，將前者記為 K。Ω 則是 t 的 dual number。）

  都會得到一個不小的值。（因 ψ 的非零域(支持、support)應該相當小。）

  這說明無法將該光子理解成「波向量恰為 k、角頻率恰為 ω」。

  用這圖像來想像光子的話還有其他衍生的波長、頻率、能量、動量等都會是無定義的。

  而且這個觀點最奇特的地方就是 ψ 似乎寫成什麼樣子都可以。

  也就是光子的波函數長相可以非常隨性。

  或許這是讓光子的描述帶有某種彈性的方法？


【瓶頸】

上述問題的矛盾點就是我的瓶頸了。

其實對於光子的問題還有很多……

不過主要都是圍繞這個矛盾而產生的。

光子概念的建立植根於能量 E = hν，但以上述問題的思考流程來看待的話，

會得到「這顆光子必須無所不在所以光子超級大顆」的荒謬結論。

（本來已經囫圇過去了，可是因為想知道光子的大小就又開始想這種問題了。

  網路上也有許多 size of a photon 的文章，但最後都沒有給出結論，

  又或者說結論就是沒有結論……）

先謝謝各位大大了。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1475430857.A.581.html
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 10/03/2016 01:55:16
推 kermomo: 無窮遠處的光子能量密度無窮小，所以雖然積分到無窮遠處
"a single free photon" 無窮遠處光子能量密度跟近處的能量密度沒有不同啊……
（把光子換成其他粒子就是量力第一個例題：a single free particle。）

→ kermomo: ，仍能得出有限能量值？
推 kermomo: 我的理解是光子確實在空間中任何一點都有一個出現的機率
→ kermomo: ，但是在大部分的地方這個機率都趨近，我覺得光子的密度
→ kermomo: 分佈無所不在沒什麼問題，畢竟你又沒有限定邊界條件
無所不在不是問題沒錯，但文中用引號是希望把「每個地方機率都相同」強調出來。
而且是「每一瞬間出現在每個地方的機率都相同」，
也就是說可以現在在這裡，等一下就跑了1光年那麼遠的距離。

推 ren1072: 這樣子寫是動量的eigenstate，真的要看到光子要有
→ ren1072: 交互作用。
我的問題比較像是：一顆光子真的具有「一定能量」嗎？
要有一定的能量就只好是能量、動量、頻率、角頻率、波長、波向量的 eigenstate。
那如果光子不必具有一定能量，光子又會是什麼？
（光電效應就是得用電磁波能量已然量子化來解釋，
  但能量量子不具有特定能量的話……）
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 10/03/2016 18:08:53
→ wohtp: 你說的全部都對啊
→ wohtp: 如果你要求光子的波函數必須localized，你就不可能有唯一的
→ wohtp: 頻率和波長
→ wohtp: 這個其實根本不需要量子化，古典電磁學也一樣
→ wohtp: 可以開關有限大小的光束，其波長和頻率就已經不是定值了
→ wohtp: 你最後補充的問題，讓我來反問你：一顆有質量的粒子必須具
→ wohtp: 有一定的動量嗎？
→ wohtp: 量子力學裡面沒這回事。貓可以半生半死，電子可以一半往左
→ wohtp: 一半往右。
→ wohtp: 那光為什麼不可以一半是紅外一半是紫外？
→ wohtp: 其實有沒有質量根本不重要，粒子就是粒子，最一般的量子態
→ wohtp: 都是各種雜七雜八的疊加起來。
→ wohtp: 但是我想你也知道，量子疊加跟古典疊加有差別。
→ wohtp: 所謂「半顆紅半顆藍」的光子，被吃掉的時候一半的機率是紅
→ wohtp: 的，另一半的機率是藍的，總之不會出現黃光的能量。
→ wohtp: 所以光電效應還是活跳跳的沒出問題啊
推 p112233: 為什麼是用Schrödinger而不是Klein-Gordon阿
→ p112233: Schrödinger機率波的概念可以直接套在古典電磁波嗎
→ p112233: 可以直接套應該連QED都不需要了吧
→ wohtp: 樓上：大致上可以
→ wohtp: 反過來說，古典電磁波可以看成coherence state，場的強度平
→ wohtp: 方可以直接視為occupation number
→ wohtp: QED一開始的困難點不是電磁學的部分，而是怎麼把電磁場跟電
→ wohtp: 子掛在一起
→ Vulpix: 嗯，一直覺得「單色光」聽起來很刺耳XD可是又覺得雷射真的
→ Vulpix: 還滿「單色」的，結果想來想去發現還是跟這個問題等價。
→ p112233: coherence state和wave function還是有差吧，還是說有辦
→ p112233: 法用|x>來描述photon的quantum state我不知道
推 youzi1114: 雷射很不單色喔，不要搞錯
→ wohtp: 為什麼不能用|x>來描述？
→ wohtp: 不考慮帶電粒子，純電磁場只不過是non-interacting free
→ wohtp: field，怎麼惡搞都不會弄壞
→ wohtp: 所以我可以先gauge-fix，把問題變回E和B，再對每個plane
→ wohtp: wave mode量子化就好
→ wohtp: 這樣拿到k-space的eigenstates。想要real space就把它再
→ wohtp: Fourier回去啊。
→ wohtp: ...等等，其實我扯那麼多做什麼。
→ wohtp: propagator就是wavefunction，結案。
所以結論就是光子應該跳脫能量量子的概念，

我們必須承認其實單一光子並不具有特定頻率、能量、波長等物理量。

電子在能階之間躍遷時，吸收的光能有一個能帶寬度，

放出的光也不會是相同頻率。（畢竟連頻率二字都不能說出口了。）

因為事出在傅立葉轉換上，所以還是 Uncertainty Principle 的問題。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 10/05/2016 14:36:10
→ wohtp: 不全是這麼說的。單一電子有沒有動能、動量、位置等物理量？
→ wohtp: *不全是
我認為我們平常見到的電子都是沒有這些物理量的。

但是因為uncertainty很小，所以狀態的非零分量都集中在某些eigenvalue附近，

以至於我們「覺得」有特定的量值。


當然我覺得自己用「所以還是 Uncertainty Principle 的問題」有些sloppy，

但是實在找不到更合理的解釋……
※ 編輯: Vulpix (61.230.120.192), 10/29/2016 12:37:56