Re: [問題] 我對有簡併能階的證明哪裡錯了Orz

[peterqlin (平平)]

※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 【出處】(習題或問題的出處)
:         Sakurai Quantum Mechanics 第一章第17題
: 【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)
: Two observables A1 and A2, which do not involve time explicitly,
: are known not to commute,
:         [A1,A2] \neq 0
: yet we also know that A1 and A2 both commute with the Hamiltonian:
:     [A1,H] = 0, [A2,H] = 0.
: Prove that the energy eigenstates are, in general, degenerate. Are
: there exceptions? As an example, you may think of the central-force
: problem H=p2/2m+V(r), with  A1 →Lz,A2 →Lx.



提供一個我自己覺得還不錯的方法 (自己講XD)

雖然不是要幫原PO想卡關的地方@@



Notation: A_1 -> A; A_2 -> B.

Suppose that the energy eigenstates are not degenerate. Since [A, H] = 0, we

can find a common eigenbasis {|a_i>} of which the corresponding energies

E_{a_i}'s are different. Also, we have [B, H] = 0, which implies the existence

of a common eigenbasis {|b_j>}. Since [A, B] != 0, we know that |b_j> is not

an eigenstate of A in general. Instead, it should be written as a linear

combination of |a_i>'s. However, a linear combination of the energy eigenstates

from different eigenspaces is generally not an energy eigenstate, which

contradicts with the assumption that |b_j> is an eigenstate of H. Thus, we know

that there should be some degeneracies in the energy spectrum of H.



有時候可以考慮用反證法來做題目

會比較好寫~



Exception的部分

我不確定他是不是要問是否有nondegenerate的eigenstate存在

如果是的話

我們可以考慮一個簡單的model：

H = S_1 · S_2

其中total S_z, S_x都跟H commute並且互相不commute

Energy eigenstate會有triplet的3個state跟singlet的1個

而singlet就是nondegenerate的




: 也請看一下附件，內有完整題目與我的詳細作法
: https://www.dropbox.com/s/m6ab8zoo0ay6f9d/ask.pdf?dl=0
: 【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導)
: ---稍微說明一下我的作法---
: 我先假設一個Hamiltonian的特徵值方程式，接著藉由[A1,H]=[A2,H]=0，
: 來推得另一個特徵值方程式，如此一來，應該就能接著討論它們具有
: 相同特徵值，但特徵態卻不同的情況，也就是能階具有簡併態的情況。
: 不過，就在我討論到(5)時..我認為，如果|Φ〉與|ψ〉是不一樣的特徵態，
: 那麼它們就不能具有倍數關係，也就是(5)的結論。因此，我最後得出，
: 「如果|ψ〉不是A的特徵態，但又恰好是Hamiltonian的特徵態，那麼
:   A|ψ〉就會是|ψ〉的簡併態，其中A可代換為A1或A2。」
: 這規則是正確的嗎？囧...
: --------------------------
: 今天跟同學討論後，發現我的(4)似乎不能推得(5)。我後來仔細想想，
: 我覺得我是為了讓(4)成立，並且能階具有簡併，所以才不得不得出(5)
: 的結論。這也是為什麼後面我整理出一個規則的原因。
: 簡單來說，我還是不明白為什麼我到目前為止的推理是錯的 QQ
: 不好意思一直麻煩我同學，所以上來發問了，還請各位大大幫忙一下，謝謝Orz

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 作者  KyrieIrving1 (騎士少主)                                   看板  C_Chat 
 標題  [閒聊] 近十年哪些作品有資格爭神作??                                    
推 king786945: AZ
推 DsLove710: 熊巫女
推 jkl852: 迷家
推 ChrisDavis: Seed-Destiny
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1476289387.A.38B.html
推 Philethan: 推推！！！！！
※ 編輯: peterqlin (223.136.176.140), 10/13/2016 02:15:25
→ wohtp: particle on a torus不好嗎？為什麼大家都要扯到角動量...
→ wohtp: 零動量基態就是non-degenerate eigenstate.
→ Vulpix: flat torus嗎？要舉出time-conserved noncommute A1、A2
→ Vulpix: 大概有一點難度吧。P_x,P_y都commute啊...(因為要[A,H]=0)

一般來說，對於正在修量力的學生而言，spin model應該是比較好理解的吧

而且我舉的Hamiltonian可以寫成一個4x4的矩陣

對角化之後可以很直接地看出的確有nondegenerate eigenstate存在

就現階段而言，我想這樣其實已經足夠了

※ 編輯: peterqlin (140.112.25.105), 10/13/2016 18:19:26
→ wohtp: 啊對不起沒注意到不可以commute...
→ Philethan: 感謝學長相助><!! 明後天再好好思考一次，真的感謝^^
→ yyc2008: [A, H] = 0 誰說就不能有簡併態? E_{a_i}是不同的 這個出
→ yyc2008: 發點就有問題
s
請看第一句

我有先假設H沒有degeneracy

然後後面證明在這個條件下會產生矛盾

所以energy spectrum裡必然存在degeneracy


※ 編輯: peterqlin (223.137.45.232), 10/15/2016 06:56:57
推 Vulpix: 好像可以修改成：假設H非簡併，又[A1,H]=0，所以H的
→ Vulpix: eigenket都是A1的eigenket，即A1被H的eigenket對角化。
→ Vulpix: 同理，A2也與A1同時被H的eigenket對角化。=>[A1,A2]=0矛盾