作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Physics
標題Re: [問題] 我對有簡併能階的證明哪裡錯了Orz
時間Sat Oct 15 20:41:05 2016
: 推 Vulpix: 好像可以修改成：假設H非簡併，又[A1,H]=0，所以H的 10/15 20:04
: → Vulpix: eigenket都是A1的eigenket，即A1被H的eigenket對角化。 10/15 20:05
: → Vulpix: 同理，A2也與A1同時被H的eigenket對角化。=>[A1,A2]=0矛盾 10/15 20:06
閒著沒事，我寫出來吧。
假設 H 是 non-degenerate，則每個 eigenvalue E_i 對應唯一的 eigenstate |i>。
由 [H, A1] = 0
=> H (A1|i>) = A1 H|i> = E_i (A1|i>)
=> A1 |i> = a_{1i} |i> where a_{1i} is a C-number,
since nothing else has the same eigenvalue.
因為 H 的 eigenstates 形成 orthogonal basis：
A1 = \sum_{i} a_{1i} |i><i|
同理
A2 = \sum_{i} a_{2i} |i><i|
Commuatator [A1, A2] 直接丟進去算都可以算出是零。於是矛盾。
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推 peterqlin: 推 這個做法比較具體，應該比較好理解 感謝V大跟w大~ 10/16 00:09
→ louis925: 為什麼 |i> 一定是 A1 的 eigenstate? 10/20 12:30
A_1|i> 跟 |i> 都是 H 的 eigenstate，都有一樣的 eigenvalue。
因為我們假設 H non-degenerate， A_1|i> 和 |i> 只好是同一個東西。
※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 10/20/2016 14:09:42