Re: [疑問] 跑擴散方程式 到了終點..卻不會衰退

[Ecampus (7.7)]

: http://imgur.com/TxeHaFC
:
: 這是一維的汙染物濃度擴散方程式
: u是速度 c是濃度
: E是擴散係數(延散係數)
: P是衰減係數
:
:
: 我用台灣某條河川 做實地測驗、與跑程式模擬兩個結果
: 實地測驗得到的曲線
: 就是高斯分布那一種型態(從0→到濃度最高點→到終點濃度衰退為0)
:
:
: 跑程式的話
: 依照各參數輸入 得到的結果卻是(0→濃度最高點→到終點仍然濃度最高點 沒衰退衰減過)
:
: → wohtp: 有圖嗎？你的初始條件和邊界條件是什麼？                   10/10 10:36
: → wohtp: 終點是時間上的終點嗎？多遠？                             10/10 10:39

您好 初始條件 我是假設開始的釋放點(0公尺處) 濃度為100ppb

邊界條件 我假設終點站是N   又C(N-1)=C(N+1)  所以濃度會一直無法下降

後來我改成C(N)=0


(距離是 0M~1600M)

(時間設定是0分鐘~160分鐘)


但是 也是到後面快終點的時候 濃度才會降下來


我想得到的圖形是類似高斯分布這樣的 https://imgur.com/w11jVaI


但我實際得到的結果是https://imgur.com/vZSSWeh

=.=


我想做的是 時變的系統 濃度隨時間變化的

不過現在卡關 我知道時不變系統怎麼做....不知道時變系統怎麼做

求高手幫忙解惑 薄酬2000P


CC(I)=CC(I)+E*DT*(CC(I+1)-2*CC(I)+CC(I-1))/DX/DX-&
                U*DT*(CC(I+1)-CC(I-1))/2./DX-&
                DE*DT*CC(I)
                CC(N)=0

我的時不變系統是這樣寫

如果改成時變..我還在想要如何改

: → Vulpix: 聽起來除了沒衰退有點詭異外，一段時間後濃度最高點位置不  10/10 20:20
: → Vulpix: 變，這件事不是什麼大問題啊。當然視乎你的IC、BC、t。     10/10 20:22
: → wohtp: 我本來想說是邊界條件沒設對，擴散到最旁邊又被擋回來之類   10/11 10:21
: → wohtp: 但是發現他還有用手放進去衰減                             10/11 10:22
: → wohtp: 最後沒有變成零就是數值做錯了，沒話好說                   10/11 10:23
: → saltlake: 確定參數輸入正確? 跑的程式誰寫的?                     10/11 11:17




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※ 編輯: Ecampus (125.230.93.84), 10/16/2017 00:57:05
推 wohtp: 這你的方程式有解析解啦
→ wohtp: 你要不要乾脆放棄數值算了
→ Ecampus: 解析解我有 只是我要做的是數值解跟解析解的對比
→ wohtp: 我覺得你首先連方程式是什麼意思好像都不清楚啊...
→ wohtp: 能夠魔改成沒有時間就已經很神奇了
→ wohtp: 然後你覺得拿掉時間以後得到的解是什麼意思？
→ wohtp: 我是不覺得你魔改過的方程式有什麼意義啦
→ wohtp: 然後你的邊界條件又是什麼意思？
→ wohtp: 時變就把 dc/dt --> c(t+1)-c(t) = ...
→ wohtp: 右邊那一堆都只跟 c(t) 有關
→ wohtp: 給定 c(t) 你可以算 c(t+1) - c(t)，就可以找到 c(t+1)
→ wohtp: 不過你最好想清楚你的邊界條件要什麼
→ wohtp: 把邊邊直接釘在零實在很可疑
→ Ecampus: 我試一下大大說的時變寫法看看 唉 當初沒好好學基本程式=
→ Ecampus: =.=導致現在的苦果
推 sputtering: https://ez2o.com/34Kbx
推 bluecadence: 用python寫了個簡單的模擬程式 畫出來的圖長這樣
→ bluecadence: https://imgur.com/wIfiWhQ
→ bluecadence: 橫軸是空間位置，縱軸是濃度。黑色曲線是起始濃度分
→ bluecadence: 部(假設是高斯分佈)，然後其他紅色漸漸變淡的曲線是
→ bluecadence: 隨時間改變的濃度空間分佈變化。
→ bluecadence: 玩一下不同起始濃度分佈 https://imgur.com/Bo2nFhe
→ bluecadence: https://imgur.com/JXZ6YTj
推 sputtering: 樓上Good Job
→ wohtp: 問一下b大邊界條件是什麼？
→ bluecadence: 回w大 還沒有放任何邊界條件
→ bluecadence: 用的是forwrd Euler scheme
→ bluecadence: forward
→ bluecadence: 時間/空間step放大10倍 https://imgur.com/ekuPCMM
→ wohtp: 不可能不放邊界條件吧？不然邊界附近的空間導數怎麼定義？
→ Vulpix: 大概可以當作Neumann BC吧？
→ Vulpix: 看那幾張圖，這個條件感覺比較符合code。
→ Vulpix: 不過邊界的空間導數也可以用one-side的寫法。
→ wohtp: 濃度到了邊界可不可以漏出去／怎麼漏出去可是很重要的
→ wohtp: 要是隨便放個periodic bc或是會反射的，那整體衰減其實就跟
→ wohtp: 擴散完全無關，不是嗎？
→ wohtp: 我想問的是這個
推 bluecadence: 感謝w大的指點。昨天半夜睡不著無聊爬起來亂寫一通:p
→ bluecadence: 我的確沒考量到邊界條件，也沒去處理這問題
→ bluecadence: 我剛剛仔細重新研究一下 我用的方法是Crank-Nicolson
→ bluecadence: implicit method 。過程中我沒有指定邊界值，但因為
→ bluecadence: 解聯立方程式的矩陣的第一列和最後一列是有初始給定
→ bluecadence: 特定值的,所以依舊算出來空間邊界的濃度，只是這個
→ bluecadence: 算出來的值有沒有意義，的確有很大的問題。
→ bluecadence: 第一次試著用數值方法解PDE，感謝指點
→ bluecadence: 濃度似乎沒有"漏"出去 因為面積的積分隨時間變化，一
→ bluecadence: 值保持相同 (面積~1)
推 bluecadence: https://imgur.com/EZvco93 把邊界設成 0 就漏了
→ bluecadence: 看來邊界條件也很費心思。我想問在一個開放的場域，
→ bluecadence: 原則上無限遠處濃度才等於0，那該如何設定合理的邊界
→ bluecadence: 條件
→ wohtp: 我也沒做過啊。會做的人也不必問這問題了？
→ sputtering: http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_eng/
→ sputtering: https://goo.gl/B8pTzW
→ bluecadence: 研究了一下，在數值方法中，邊界條件的給定 1. 當然
→ bluecadence: 如果有實際物理系統的量值測最好 2. 根據物理系統給
→ bluecadence: 與合理假設值 3. 假設線性，用"格子"內的點做外插
→ bluecadence: 4. 用無限遠處的邊界值，回推估計。每種方法都必須檢
→ bluecadence: 討誤差以及有效範圍。要得到接近現實的模擬，得費些
→ bluecadence: 功夫就是。
→ wohtp: 我想到的：
→ wohtp: 1. 系統取得夠大，邊界上濃度一直不高 --> 直接釘在零
→ wohtp: 2. 假設初始濃度都在原點附近，邊界上直接用 exp(-a x^2)
→ wohtp:    的形式去 fit，然後把該有的衰減用手插進去
→ sputtering: 可以問一下原PO那兩條方程的資料來源為何
→ Ecampus: ??第1張綠色背景的圖 是1D濃度擴散方程式的公式Y
→ Ecampus: 高斯分布那張圖 是TAYLOR G.I 在1953年提出的瞬時點源解
→ Ecampus: TAYLOR的瞬時點源解 被稱為解析解
→ sputtering: 摘自 中央土木 朱佳仁 教授 https://goo.gl/UDJ8zw
→ sputtering: 又上了一課
不好意思 我的表達能力太差 讓大家看不懂我想問的東西...XD


其實我想問的 是下面這問題：


===============================

我們設定的最初濃度

在不同時間的時候 濃度應該也會隨時間而衰減吧~~~



(譬如 我在0m處的起點 丟了一把濃度10的粉末

過了1分鐘以後 0m處的濃度自然也會有衰減...

所以1分鐘後的0m處之濃度 也不會是10了)



請問這個問題 大家是如何處理的


https://imgur.com/TxeHaFC

譬如這個一維濃度擴散方程式而言

是用迭代處理嗎


顆顆 ..我打算直接用各種不同的T 手動帶進去
※ 編輯: Ecampus (125.230.93.173), 10/19/2017 19:08:02
→ bluecadence: ㄜ..我完全誤解你的問題 你問的問題是 Taylor
→ bluecadence: dispersion.. 所以請忽略我的圖 :p
→ bluecadence: 你還多了一項 shear flow 的影響
→ bluecadence: 還有多一項 external source
→ bluecadence: 應該是把我給你的程式裡面的A和B矩陣的元素重新寫過
→ bluecadence: (把shear flow 和external source考慮進去) 就可以了
→ bluecadence: 但這要花一些時間推導公式。我考慮的是解整個PDE，
→ bluecadence: 而不光是只想知道擴散物質的濃度在原點隨時間的變化
→ bluecadence: 你稱作衰減係數的P 就是我說的 external source or
→ bluecadence: sink
→ wohtp: 把 d/dx 代換成 (d/dx - E/2u) 總之配完整平方搞掉一階項
→ wohtp: 然後本來的解照樣用
→ wohtp: 應該這樣就可以了吧
→ Ecampus: !!!!!!!是的 立馬TRY一下
推 bluecadence: 算出來當"河流"有流速時 https://imgur.com/EZXk9ne
→ bluecadence: 也就是你的 u > 0 的時候
→ bluecadence: 在50的位置撒入一個gaussain分佈的擴散物，"河流"往
→ bluecadence: 橫軸的右方流動
→ bluecadence: (邊界條件必須更嚴格討論 不過大致上就這樣了)
→ bluecadence: 要取空間任一處濃度隨時間變化 都沒問題的。
→ bluecadence: 要扔方形分佈也行囉 https://imgur.com/8fC3ia4
→ bluecadence: 要扔 "delta function" 顯然在這數值計算會罩成困擾
→ bluecadence: 圖形出來不合理 我就不放了
→ bluecadence: 當把模擬空間加到更大例如1000，基本上不管是高斯或
→ bluecadence: 是方形分佈，都能慢慢逼近"delta function"
→ bluecadence: 這個東西玩二維應該會更好玩，diffusion 和 "河流"方
→ bluecadence: 向的交互影響，還有流速快慢和diffusion constant的
→ bluecadence: 大小變化
→ bluecadence: 我這模擬狀況故意把河流流速放的非常慢，只是要展示
→ bluecadence: 當 shear flow 出現時，對原本被動擴散的影響
→ wohtp: 下游邊界的濃度似乎累積得蠻高的，所以可能不太準？
→ bluecadence: 純粹邊界條件問題 我上游設定0 下游用外插法 所以我
→ bluecadence: 說邊界條件要更嚴格討論 不過我玩夠了
→ bluecadence: 而且如果仔細看 下游累積到某個高點 已經開始下降
→ bluecadence: 累積量和河流流速以及模擬時間長度會有關係 我肉眼
→ bluecadence: 看不出來 暫時也不會想要嚴格探討誤差 好玩罷了
→ bluecadence: 要讓邊界不累積很容易設定邊界0就好 但是會比較有意
→ bluecadence: 義嗎 這我是不知道
→ bluecadence: 我是沒把所有參數/條件全都清楚po上來 所以好像也沒
→ bluecadence: 甚麼價值討論。原 po 如果想做類似的模擬，就把我
→ bluecadence: 給的程式自己改一下矩陣A和B的元素，把 shear flow
→ bluecadence: 項影響後造成的改變放進去就好了。source/sink 在
→ bluecadence: 原po目前的狀況，大概還不必考慮
→ bluecadence: 補一張下游邊界條件0  https://imgur.com/HFGpvDy
→ bluecadence: 當初只是想玩玩不同的邊界處理方式 沒想太多
→ Ecampus: 感謝大家  我來研究一下 感恩Q_Q
→ Ecampus: 感謝大家  我來研究一下 感恩Q_Q