Re: [問題] 關於拉格朗日力學

[pipidog (如果狗狗飛上天)]

※ 引述《kuan87 (87kuan)》之銘言：
: 小弟數學系
: 最近對分析力學有點興趣
: 我只知道變分是想找這個函數
: L(x,f(x),f'(x))的積分在某個f(x)會有極值
: 以最速下降為例
: 我們是要找空間中一點落到另一點所需最短的時間T的那條路徑
: 我的問題是 拉格朗日量L=T-V
: 為什麼要這樣定義
: 他積分後的極值意義又是什麼
: -----
: Sent from JPTT on my HTC_M10f.

月經題,重貼自己N年前寫的老文,希望有所幫助.

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個人心得,不精確的解釋,不是教科書上會出現的說法,請自行驗證:

1. action = 廣義動量所對應的勢 S. ( 因為有p=grad(S) )

2. 粒子在位形空間運動,會對這個勢產生擾動. 好比一隻魚在一團膠水

   中游泳一樣.這個過程導致S會有時變. 該時變遵守Hamilton-Jacobian

   方程.

3.由於在不同的座標系下看S,會看到不同的時變率,我們可以定義:

  跟著粒子運動,所看見的勢的時變率就是拉氏量  L (因為L=ds/dt)

  站在一旁不動,所看見的勢的時變率就是哈氏量 -H (因為H=-ps/pt)

4.怎麼理解粒子要走對S泛函微分為極值的路線?

  把邏輯反過來想,對一個已知L跟H的系統,我們該有怎樣的S? 這就必須

  要求 ds/dt=L, ps/pt=-H. 把兩式聯繫起來,我們有:

    L-pq'=-H ,把左式通通用s代換掉,就會發現,原來就是在對S作泛函微分!

  所以目的是求S,但是對S的泛函微分剛好會跑出L跟H,所以可以反過來說,

  S就是對L求泛函積分.

總結: 邏輯上,我們設對每個系統都存在一個基本量S,並假設這個S滿足H-J

      方程.則古典力學已推導完畢. 但實務上,S寫不下來,但是S在不同座

      標下的時變率,也就是對S取泛函微分後產生的兩個參數,H,L可以很輕

      易的寫下來. 因此實務上,我們是先寫下H,L,然後積分反求回S.這就

      是古典力學. 從這觀點來看,就無所謂對L求泛函極

附註: 所以若把S視為基本量,就不要在問為什麼要對L積分取action了.

      從這觀點來看,就無所謂對L求泛函極值的觀念.L不是基本量,S才是,

      但是S我們不會寫,只好先寫下它的泛函微分L,然後透過對H-J方程積

      分反求回S. 導致看起來好像是在求泛函極值的問題,但那只是因為

      從一開始我們就不會寫S,只會寫S的泛函微分L造成的.

      所以不是我們為什麼要把L的積分叫作S,而是我們一開始就把S的微分

      叫作L. 從L,求S. S是什麼? 廣義動量的勢! 有S則萬物可解. 從這個

      邏輯出發,就無所謂看不懂積分的意義了.因為積分在這個邏輯下只是

      過程,不是目的.


打完收工....

(再次聲明,個人心得,純分享,不敢保證正確無誤,請自行衡量服用.至少我當

 年念古典力學的時候是這樣來理解action的.)

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★人生中最溫暖的夏天是在紐約的冬天★

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※ 編輯: pipidog (73.66.168.95), 01/02/2018 19:17:33
推 changifeng: 推!!
推 changifeng: 你這邊的指的作用量的梯度是指作用量在位形空間中的
→ changifeng: 梯度吧
→ pipidog: 當然,上面講的沒有獨創定理,只是把教科書上的公式換一個
→ pipidog: 說法來描述而已.沒有新東西,只是觀點上更直覺.
→ pipidog: 上面每一條敘述你可以在書上找到相應的定理和公式.
推 changifeng: 是的goldstein或landau寫的很清楚