推 microball: 推 Green 積分方法。還有另一個比較計算簡單的 10/25 01:03
→ microball: 是利用形心在仿射轉換後還是形心的性質 10/25 01:03
→ microball: 把任意三角形先平移+線性轉換到直角等邊三角形計算 10/25 01:04
※ 引述《dagood (魯叔->廢伯)》之銘言：
回答你來信的問題
有問題請在板上發問就好
你的問題也可能是別人的問題
我不習慣回信(也撈不到p幣)
你的疑問在於你用的積分公式
對於狹長矩形的形心y座標做了一個假設(就是在矩形中間)
你認為這個假設可能根據三角形形心而來
其實有限個點也是有形心的
一個點的形心就是它自己
n個點的形心就是它們的算術平均數
如 (a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3) 三點的形心為 ((a1+a2+a3)/3,(b1+b2+b3)/3)
這個點有個性質
它到那三點的距離平方和為最小
類似的概念用到封閉曲線圍成的面積的形心
我們把面積切割到近乎可視為點(不必然要矩形)
然後再把這些"點"的座標做加權平均得到形心座標
權重就是"點"的面積
以上完全不必先知道三角形或是矩形的形心在哪
以平面三角形為例
要算 (a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3) 這三點圍成的三角形的形心
若不考慮這三點產生垂直線(若發生a1=a2再另外處理)
則三角形為以下三直線所圍
y = (b1-b2)/(a1-a2)*(x-a1) + b1
y = (b2-b3)/(a2-a3)*(x-a2) + b2
y = (b3-b1)/(a3-a1)*(x-a3) + b3
形心為 (∫∫ x dxdy / A , ∫∫ y dxdy / A)
積分區域為三角形內部,A為三角形面積
用Green thm把二重積分轉為線積分
假設(a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3)這三點依序為逆時針
∫∫ x dxdy
= ∫_a2^a1 x*((b1-b2)/(a1-a2)*(x-a1) + b1) dx
+∫_a3^a2 x*((b2-b3)/(a2-a3)*(x-a2) + b2) dx
+∫_a1^a3 x*((b3-b1)/(a3-a1)*(x-a3) + b3) dx
(化簡整理後,可考驗自己的計算能力或乾脆丟給電腦算)
= (1/6)(a1+a2+a3)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1)
因(1/2)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1) 為三角形面積
所以形心x座標為 (1/3)(a1+a2+a3)
∫∫ y dxdy =
=∫_b1^b2 y*((a1 - a2)/(b1 - b2)*(y - b1) + a1)dy
+∫_b2^b3 y*((a2 - a3)/(b2 - b3)*(y - b2) + a2)dy
+∫_b3^b1 y*((a3 - a1)/(b3 - b1)*(y - b3) + a3)dy
=(1/6)(b1+b2+b3)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1)
因(1/2)(a1b2+a2b3+a3b1-b1a2-b2a3-b3a1) 為三角形面積
所以形心y座標為 (1/3)(b1+b2+b3)
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