用球殼積分計算實心球體轉動慣量

[barry881028 (Alvin)]

http://i.imgur.com/vcrFlON.jpg
球的質量為M
半徑為R

課本上是把球體切成一片一片圓盤去計算轉動慣量，我嘗試用球殼去計算卻算出3/5MR^2
想請問是哪個環節出了差錯？

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→ Vulpix: 你寫的 r 不是旋轉用的半徑。想直接用球殼的話，得直接用
→ Vulpix: (2/3)r^2dm 去積分。
推 Muscovy: 因為球殼的每個部位對於轉動的貢獻不一樣啊
推 G41271: 下面圖有畫了,r是到z軸的距離,不是到圓心的
→ G41271: 到圓心的距離用u表示, 所以dm=ρdV, dV=u^2sinθdudθdψ
→ G41271: r^2= u^2 -z^2 = (usinθ)^2, 再去做r^2dm的積分
→ G41271: 喔你要用球殼的話, 要照一樓的, 先求出球殼的慣量再積分
→ G41271: 我5樓是直接用體積分