※ 引述《HeTaMan (eriz)》之銘言：
: http://i.imgur.com/CnVxMfT.jpg
: 朋友給的題目 有算出來了 但不知道答案對不對
: 所以希望可以得到這2題的正解和過程QQ
: -----
: Sent from JPTT on my Samsung SM-G950F.
P幣要記得給喔 S積分符號
1a) 代入圓柱座標散度公式 A = (1/r)[(@/@r)(3r^2 z r) + (@/@z)(-rz^2 r)]
A = 7rz
1b) G = r單位向量 (@/@r)(7rz) + z單位向量 (@/@z)(7rz)
= r單位向量 (7z) + z單位向量 (7r)
1c) 積分 = S G dv - S G dv
大球 小球
相同的z，所有r單位向量互消。
所以積分 = z單位向量[S 7r dv - S 7r dv]
大球 小球
改用球座標a, theta = t, phi = p, r = asint, z = acost
R_2
S 7r dv = S 7asint a^2 sint da dt dp = 14pi (1/4)(R_2)^4 (pi/2)
大球 0
= (7/4)pi^2 (R_2)^4
所以最後全部積分 = z單位向量 (7/4) pi^2 [(R_2)^4 - (R_1)^4]
你也可計算S A da向量，得到的答案是一樣的
2a) 角度p x = bcos(p), y = bsin(p) 積分上下限第一次會寫,後面省略
2pi
積分 = S 3x^2 y dx - xy^2 dy = S (-4)b^4 [cos(p)sin(p)]^2 dp
0
= (-4)b^4 S (1/4) [sin(2p)]^2 dp
= -b^4 S [1-cos(4p)]/2 dp
= -pi b^4
2b) B = curl A = 0i + 0j -(y^2 + 3x^2)k 就代入行列式公式
2c) 天頂算下來的角theta = t, azimuthal angle = p
x = bsint cosp, y = bsint sinp
積分 = S B * (da向量) = S B cost da
半球，上下限t:0~pi/2, p:0~2pi
= S [-b^2(sint)^2 (sinp)^2 - 3b^2 (sint)^2 (cosp)^2] cost b^2 sint dt dp
= S [-b^2 (sint)^2 - 2b^2 (sint)^2 (cosp)^2] cost b^2 sint dt dp
= -b^4 (1/4) 2pi - 2b^4 (1/4) S [1 + cos(2p)]/2 dp
= -(1/2)pi b^4 - (1/2)b^4 pi
= -pi b^4
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 117.56.175.175 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1572321985.A.966.html