Re: [問題] 法線加速度疑問

[ERT312 (312)]

※ 引述《benasking712 ([email protected])》之銘言：
: 各位前輩你們好
: 不好意思 最近在解動力學的題目是突然浮現了這個疑問：
: 為什麼法線加速度只會改變速度的方向，而不會改變大小？！
假設一質點在平面上移動，畫過一條連續可微的曲線 L
L可由位置函數R(t)描述，R是向量，若用歐式坐標表示
R大概就是長這樣 R(t)=x(t)i+y(t)j
R一經確定，質點的運動狀態，包括速度、速率、切線加速度、
法線加速度、加速度等等也就確定了
定義: V:=dR(t)/dt
      v:=|V|
         v是V的大小，即速率(speed)，ptt能用的符號不多
         所以R、V、A這些向量我用大寫，速率用小寫v
      A:=dV(t)/dt

V=v*(V/v)    定義 T:=V/v，即單位切向量，大小不變 方向會變
 = vT

A= (dv/dt) T + v dT/dt
 = (dv/dt) T + v*|dT/dt|*{(dT/dt)/|dT/dt|}   (if |dT/dt|≠0)
             定義 N:=(dT/dt)/|dT/dt|
             由 T．T=1 微分得 dT/dt．T = 0 可知 N與T垂直
             即 N 是單位法向量，大小不變，方向會變
 = (dv/dt) T + v*|dT/dt| N

到這裡可以先回答原po的問題了
若只有法線加速度，沒有切線加速度
即 dv/dt 在某個區段恆為0
在微積分我們可以證明 v 為定值
所以 "速度大小不變" <=> "沒有切線加速度，只(可能)有法線加速度"
這是數學上的結果 (當然包含了一堆物理定義)
不牽扯到物理實驗或物理定律
就好像問"為什麼從靜止做等加速度運動的質點其路徑是直線且速率越來越快"
這也是運動學或是數學上的問題，沒有牽扯到力或牛頓運動定律
只不過這個問題高中數學就可以解決
原po的問題要比較多的微積分知識

把A的工作做個結尾
我們已經知道dT/dt的方向垂直T
而他的大小似乎跟單位時間內質點轉彎的劇烈程度有關
如果我們只關心路徑曲線 L 的幾何性質 (曲率)
那它應該跟質點在 L 上怎麼運動無關
所以我們引入另一個參數 s:=從某點開始的路徑長
A=(dv/dt) T + v*|dT/ds|*(ds/dt) N
 = (dv/dt) T + (v^2 * k) N       定義 曲率k:=|dT/ds|
 = (dv/dt) T + (v^2 / r) N            曲率半徑r:=1/k

k的倒數為什麼不稱為曲率"直徑"或其他什麼的
為什麼要稱為曲率"半徑"
因為我們可以證明圓的曲率半徑就是它的半徑
L 上某點的曲率半徑即是那點上的密切圓半徑
這裡提供一個直觀、雖不嚴謹但正確的圖像
T(t_1)經過極小段路徑長ds後轉到T(t_2)，轉了dθ度
因此T(t_1)、T(t_2)、dT 圍出了一個等腰三角形
腰長是1，所以|dT|=dθ (|dT/dt|=dθ/dt=ω ∴法線加速度也等於vω)
與此同時，它的曲率半徑r 也轉了dθ度，畫出了ds
因此 ds=r*dθ=r*|dT|
所以|dT/ds| = 1/r

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推 chemmachine: 推
推 chemmachine: salas微積分有類似的證明，看完才想到。講得很清楚
推 benasking712: 謝謝ER大大特別打了一篇回文解說 其實我是知道上面
→ benasking712: 加速度的式子的XD 只是沒有想過“dv/dt=0和無切線加
→ benasking712: 速度等價”這件事 既然有了數學的保證 我就比較安心
→ benasking712: 的相信他會是等腰三角形 那我想我應該明白你所說的
→ benasking712: 概念了 謝謝ER大清楚仔細的解說 真的很感謝你~~
※ 編輯: ERT312 (36.238.198.50 臺灣), 05/11/2020 15:18:42
※ 編輯: ERT312 (36.238.198.50 臺灣), 05/11/2020 15:27:03
推 kennygg: 推推