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※ 引述《benasking712 ([email protected])》之銘言: : 各位前輩你們好 : 不好意思 最近在解動力學的題目是突然浮現了這個疑問: : 為什麼法線加速度只會改變速度的方向,而不會改變大小?! 假設一質點在平面上移動,畫過一條連續可微的曲線 L L可由位置函數R(t)描述,R是向量,若用歐式坐標表示 R大概就是長這樣 R(t)=x(t)i+y(t)j R一經確定,質點的運動狀態,包括速度、速率、切線加速度、 法線加速度、加速度等等也就確定了 定義: V:=dR(t)/dt v:=|V| v是V的大小,即速率(speed),ptt能用的符號不多 所以R、V、A這些向量我用大寫,速率用小寫v A:=dV(t)/dt V=v*(V/v) 定義 T:=V/v,即單位切向量,大小不變 方向會變 = vT A= (dv/dt) T + v dT/dt = (dv/dt) T + v*|dT/dt|*{(dT/dt)/|dT/dt|} (if |dT/dt|≠0) 定義 N:=(dT/dt)/|dT/dt| 由 T.T=1 微分得 dT/dt.T = 0 可知 N與T垂直 即 N 是單位法向量,大小不變,方向會變 = (dv/dt) T + v*|dT/dt| N 到這裡可以先回答原po的問題了 若只有法線加速度,沒有切線加速度 即 dv/dt 在某個區段恆為0 在微積分我們可以證明 v 為定值 所以 "速度大小不變" <=> "沒有切線加速度,只(可能)有法線加速度" 這是數學上的結果 (當然包含了一堆物理定義) 不牽扯到物理實驗或物理定律 就好像問"為什麼從靜止做等加速度運動的質點其路徑是直線且速率越來越快" 這也是運動學或是數學上的問題,沒有牽扯到力或牛頓運動定律 只不過這個問題高中數學就可以解決 原po的問題要比較多的微積分知識 把A的工作做個結尾 我們已經知道dT/dt的方向垂直T 而他的大小似乎跟單位時間內質點轉彎的劇烈程度有關 如果我們只關心路徑曲線 L 的幾何性質 (曲率) 那它應該跟質點在 L 上怎麼運動無關 所以我們引入另一個參數 s:=從某點開始的路徑長 A=(dv/dt) T + v*|dT/ds|*(ds/dt) N = (dv/dt) T + (v^2 * k) N 定義 曲率k:=|dT/ds| = (dv/dt) T + (v^2 / r) N 曲率半徑r:=1/k k的倒數為什麼不稱為曲率"直徑"或其他什麼的 為什麼要稱為曲率"半徑" 因為我們可以證明圓的曲率半徑就是它的半徑 L 上某點的曲率半徑即是那點上的密切圓半徑 這裡提供一個直觀、雖不嚴謹但正確的圖像 T(t_1)經過極小段路徑長ds後轉到T(t_2),轉了dθ度 因此T(t_1)、T(t_2)、dT 圍出了一個等腰三角形 腰長是1,所以|dT|=dθ (|dT/dt|=dθ/dt=ω ∴法線加速度也等於vω) 與此同時,它的曲率半徑r 也轉了dθ度,畫出了ds 因此 ds=r*dθ=r*|dT| 所以|dT/ds| = 1/r -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.238.81.68 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1587697434.A.386.html
chemmachine: 推 04/24 11:39
chemmachine: salas微積分有類似的證明,看完才想到。講得很清楚 04/24 13:00
benasking712: 謝謝ER大大特別打了一篇回文解說 其實我是知道上面 04/25 15:48
benasking712: 加速度的式子的XD 只是沒有想過“dv/dt=0和無切線加 04/25 15:48
benasking712: 速度等價”這件事 既然有了數學的保證 我就比較安心 04/25 15:48
benasking712: 的相信他會是等腰三角形 那我想我應該明白你所說的 04/25 15:48
benasking712: 概念了 謝謝ER大清楚仔細的解說 真的很感謝你~~ 04/25 15:48
※ 編輯: ERT312 (36.238.198.50 臺灣), 05/11/2020 15:18:42 ※ 編輯: ERT312 (36.238.198.50 臺灣), 05/11/2020 15:27:03
kennygg: 推推 05/25 12:27