[問題] WKB Reflection Coefficient計算

[yuantsai (芋圓好吃)]

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【出處】(習題或問題的出處)

Michael Berry 半古典近似文章

【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)



大家好，最近在看WKB相關論文對波函數 reflection coefficient 的計算，考慮一個粒子(或波)
從無窮遠處靠近一個 barrier，以potential V(x)表示。用WKB 近似的波函數可以得到
關於 reflection coefficient 的積分如下圖

https://imgur.com/BqvKIIo

其中 p 指得是粒子動量 p(x) = √2m[E-V(x)]，E是粒子的能量，m是粒子質量

這邊作者為了避免根號在複變會有多值的問題，直接令一新變數w，接著處理w-domain的
複變積分如下圖(2.30) 和 (2.31)式

https://imgur.com/R3PVibF

WKB 近似最大的問題就是在反曲點時 p=0，而這會造成上述被積分函數爆掉，所以作者
考慮複變積分，假設發生在Wj這個點時，考慮會環繞Wj的封閉積分路徑得到(2.32)

1.這邊的封閉積分路徑作者並沒有說明，我的認為是將原本從負無限大到正無限大的在實
  軸上的積分做向上變形並形成無限大半徑的上半圓和包住奇異點Wj的小圓兩個積分，小
  圓能得到(2.32)式，但他是怎麼確定 p'/2p 的積分在無線遠處一定會收斂到0的 ?

  因為p'/2p 可寫成 (-1/4)[ V'(x)/(E-V)]，這樣來看在無窮遠處是否收斂至0決定在
  分母的V(x)，偏偏分子是V'(x)，分母沒有高於分子兩次以上，所以在無窮遠處應該不
  等於0，還是說我想的積分路徑有問題 ?

  接下來我認為作者後面是轉回原本的x-domain來處理積分

2. 接著作者假設奇異的反曲點是 p^2 的簡單零點，我的認知是 p^2 (x) 可寫為
   p^2(z) = (z-a)g(z) 其中a 是奇異點，g(z)是解析函數，所以 p'/2p 這個函數
   可用 p^2 表示為 (p^2)'/(4p^2)，再將上式代入可得

   (p^2)'/(4p^2) = (1/4){ [-a*g(z) + (z-a)g'(z)]/[(z-a)g(z)] }

   上式乘上(z-a)並取極限 z=a 可得留數

   R(a) = -a/4

  所以得到(2.32)積分為 e^(2iWj)* 2πi*(-a/4) = e^(2iWj)*(-πai/2)，但我推出的
  這個積分值和(2.34)式不同，不曉得作者是如何推出來的? 奇怪的是(2.34)式沒有包
  含特定的奇異點，所以積分是independent of poles ? 這樣不就表示跟 potential
  V(x)無關，這是我認為奇怪的點!

這兩個問題卡了好幾天了，還請各位前輩賜教! 謝謝!



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.50.159.229 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1598967758.A.670.html
※ 編輯: yuantsai (110.50.159.229 臺灣), 09/01/2020 21:49:30
→ congeebone: 2. 你可能不小心搞錯了，(2.32) 的環積分是對 w 這個
→ congeebone: 變數來做，而不是用你這邊的 z (也就是論文裡寫的 x)
→ congeebone:  來做，所以 residue 也不會是你得到的那樣。然後 (2
→ congeebone: .34) 怎麼會和 potential 無關？不然這些 complex tu
→ congeebone: rning points w_j 和什麼有關？我有點不太確定你最後
→ congeebone: 那幾句話的意思，因為最後不是就是把這些 pole 的貢
→ congeebone: 獻 R_j 加起來嗎？
→ yuantsai: 我可能沒有說清楚，我的意思是2.34的積分值最後僅保留
→ yuantsai: 到2.32的e^2iWj ，而後面被積分函數最後積出來得到iPI/3
→ yuantsai:  （這邊並不清楚作者是如何積的）表示後面的積分值和tur
→ yuantsai: ning point 無關 不知道這樣認知是否有誤會
→ congeebone: 我好像懂你意思了，但其實就是 (dp/dw)/2p 在 p^(z)
→ congeebone: 有 simple zero 的點上有 simple pole 1/6w，dp/dw
→ congeebone: 和 p相除所以沒有出現與 p(w)相關的係數也很正常。另
→ congeebone: 外，我突然發現你 (z-a)g(z) 的微分算錯了，所以得到
→ congeebone: 的答案 -a/4 因次上就不對了。
→ congeebone: ...扯遠了，你還是先想看看怎麼把 p(x) 換成 p(w)，i
→ congeebone:  pi/3是怎麼出來的也就很簡單了。
→ congeebone: 打錯...是 "p^2(z) 有 simple zero 的點上"
→ yuantsai: 對 我的微分算錯了，residue 應該是1/4才對,但這樣也不
→ yuantsai: 是1/6 雖然我還是在x domain 做計算,但應該不管是x 還是
→ yuantsai: w 積出來的值是一樣的才對 ，不知道我哪裡miss掉了 謝
→ yuantsai: 謝！
→ congeebone: 你要這樣算也可以，但你用x當變數，積分的路徑就不是
→ congeebone: 完整的環積分了，以turning point為原點附近，△w～(
→ congeebone: △x)^(3/2)，所以w積分繞turning point一圈，對應到x
→ congeebone: 只有繞2/3圈，而因為這邊只是simple pole，你可以直
→ congeebone: 接(2/3)*(1/4)=1/6。
→ congeebone: 我原本不是這樣想，而是直接把w和x的關係泰勒展開，
→ congeebone: 就可以得到 (dp/dw)/2p 的 Laurent series 的 1/w 項
→ congeebone: 是 1/(6w)，所以積分的答案是 2*pi*i*(1/6)。
推 congeebone: 更正：我上面很多寫1/w的地方我想講的是1/(w-w_j)