[問題] 閔考斯基時空中四維速度的內積

[jack41402 (抹茶好喝)]

想請問四維速度的內積為光速平方的推導

也就是 U^μ U_μ = -c^2

一物體運動於閔考斯基時空中，則其世界線的任意事件 x^μ(τ) 的四維速度 U^μ 定義為

U^μ = <γc , γu>
而 U_μ = <γc , -γu>

c 為光速
γ 是勞倫茲因子，即 1/sqrt(1-v^2 /c^2 )
u為三維速度，其值為<v_x , v_y , v_z>

四維速度的內積等於光速平方，是一個不變量：
U^μ U_μ = -γ^2 c^2 + γu ‧ γu = -c^2
* 在閔考斯基時空中的內積，第一項須加上負號

我不知道該如何推導出 -c^2  的結論，自己推導的跟這個結果差很多
我的結果在-c^2 後面會乘上 1-u^2 /c^2  不知道是計算錯誤還是我對四維的內積理解錯誤

希望各位能指正我的錯誤，感謝各位

-----
Sent from JPTT on my Samsung SM-G9980.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.10.70.51 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1618743072.A.971.html
推 Vulpix: 算錯。我反而不懂你怎麼算錯的……因為你前面寫的頗完整。
※ 編輯: jack41402 (101.10.70.51 臺灣), 04/18/2021 18:55:31
※ 編輯: jack41402 (101.10.70.51 臺灣), 04/18/2021 18:56:06
※ 編輯: jack41402 (101.10.70.51 臺灣), 04/18/2021 18:56:57
推 Vulpix: 你的u和v應該是同一個東西。
對的，忘記註明了，我等等改一下
→ Khatru: https://i.imgur.com/rTAYtN6.jpg
→ Khatru: https://i.imgur.com/xEmcDt4.jpg
→ Khatru: 我應該沒有寫錯，你自己研究一下
謝謝回覆，我終於懂了QQ
※ 編輯: jack41402 (101.10.70.51 臺灣), 04/18/2021 21:44:03
※ 編輯: jack41402 (101.10.70.51 臺灣), 04/18/2021 21:45:04