[問題] operator以及product rule

[movingcastle (霍爾的偶爾才移動城堡)]

關於operator math的優先順序，我一直默認為「由右至左」，從未想過要用product rule
，於是有了以下的疑問：
https://i.imgur.com/xtm54Gg.png

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.115.144.146 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1624694131.A.951.html
※ 編輯: movingcastle (59.115.144.146 臺灣), 06/26/2021 16:00:22
推 Vulpix: 類似Δf_n(x)，你是想算f_n(x')-f_n(x)
→ Vulpix: 還是f_{n+1}(x)-f_n(x)？
感覺兩者都不像欸
但是謝謝V大
推 Khatru: https://reurl.cc/NrQk85
感謝K大
※ 編輯: movingcastle (223.137.46.54 臺灣), 06/26/2021 21:26:03
推 wohtp: 都要看成operator的話，就當成 (dQ/dt) = [d/dt, Q] 之類
感謝w大
請問這邊指的是commutator嗎
→ wohtp: 以上d都是partial
→ wohtp: 退一步來看，暫時先忘記我們在做QM，當作純粹的數學練習
→ wohtp: 令 f = f(r, s),  Q = s d/dr
→ wohtp: 你覺得 d/ds (Q f) 應該怎麼做？不就書上那樣嗎？
https://i.imgur.com/GwMMdaD.png
推 ocf001497: 把 d/dt 跟 Q 當成 operators A 跟 B 的話，我們可以寫
→ ocf001497: 成 ABf = (AB-BA+BA)f = [A,B]f + BAf。我們知道 [A,B]
→ ocf001497:  = [d/dt,Q] = (dQ/dt)，這一項代表我們對Q這個operato
原來commutator有這個運用！
但是為什麼[d/dt,Q] = (dQ/dt)為真？
是否假定 [d/dt,Q] f = d/dt(Qf) - Q (df/dt)
又假定函數f=f(x)非時間函數，則df/dt =0?

這裡限制f沒有time dependence，但是書上的 Ψ = Ψ(x,t)有時間dependence，如此一來
以上的等式不就不成立了嗎
→ ocf001497: r取時間導數，然後得到一個新的operator dQ/dt。我們也
→ ocf001497: 知道 BAf = Qdf/dt。所以就算都當成operator，我們還是
→ ocf001497: 可以得到 ABf = d/dt Q f = (dQ/dt)f + Q(df/dt)。這
→ ocf001497: 邊的 ABf 仍然是理解成B先作用在f，A再作用在Bf上。只
→ ocf001497: 是我們用AB-BA+BA的AB-BA項得到(dQ/dt)。所以 ABf 跟
→ ocf001497: 原po圖片的第一條式子並不衝突。
感謝o大解說！
推 ocf001497: 簡單來說就是 ABf = [A,B]f + BAf 等於原po圖片的第一
→ ocf001497: 條式子
※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/28/2021 17:34:57
※ 編輯: movingcastle (220.129.232.187 臺灣), 06/28/2021 18:05:31
※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/28/2021 18:17:24
→ movingcastle: 十分感謝各位的解說，我想大致上我理解了，另外很
→ movingcastle: 高興學到了commutator的神奇活用XDD
※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/28/2021 18:25:12
→ wohtp: 如果都要看成operator的話，其實 d/dt = -iH
→ wohtp: 這樣丟在state上面是薛丁格，跟 Q 對易是海森堡
→ wohtp: ...啊不不，其實不需要把 d/dt 跟 H 扯上關係也可以，請無
→ wohtp: 視上面的推文。
→ wohtp: 原po你回貼文的圖差不多是了。(dQ/dt) 是well-defined的時
→ wohtp: 候就會對。
瞭解！
→ wohtp: 然後我回一下你問O大的部分
→ wohtp: 首先，Q是operator，但某種程度上也可以加減乘除
→ wohtp: 直觀上來說我會想直接做
→ wohtp: (dQ(t)/dt) = [Q(t+dt) - Q(t)]/dt 取極限
→ wohtp: 大部分時候這樣做都沒有問題。以原po問的這個例子來說，就
→ wohtp: 是直接把前面那個 t 偏微掉。
→ wohtp: 咦例子是我自己舉的 XD
wwwwwww
→ wohtp: 好吧不重要 XD 重點是，有時候這個極限會跟 Q 對後面的作用
→ wohtp: 打架：Q 本身定義有極限，誰先誰後有差別，之類的狀況
→ wohtp: 所以我們回來看 Q 和 d/dt 的作用。
→ wohtp: d/dt (Q f) = [d/dt, Q] f + Q (df/dt)
→ wohtp: 這個只是搬一下順序，只要展開來沒有哪一項發散就一定對
→ wohtp: 另一方面，假設d/dt可以作用在Q上面，那就有chain rule：
→ wohtp: d/dt (Q f) = (dQ/dt) f + Q (df/dt)
→ wohtp: 比較一下就得到 dQ/dt = [d/dt, Q]
→ wohtp: 然後我們拿這個來定義 dQ/dt
感謝你！
推 ocf001497: 關於f可不可以跟t有關，我想可以這樣看：[d/dt,Q] f =
→ ocf001497:  d/dt(Qf) - Q (df/dt) = (dQ/dt)f + Q(df/dt) - Q(df/
→ ocf001497: dt) = (dQ/dt)f。f可以跟t有關。所以我們得到[d/dt,Q]f
→ ocf001497:  = (dQ/dt) f。也就是說，看成operator的話，[d/dt,Q]
！！！！！！
對吼
→ ocf001497:  作用在某個general的f上面時，跟(dQ/dt)作用在f上會得
→ ocf001497: 到一樣結果。因為這裡f是general的，所以我們可以得到[
→ ocf001497: d/dt,Q]=(dQ/dt)。(dQ/dt)代表我們對Q這個operator取
commutator比神奇海螺還要神
→ ocf001497: 時間導數之後得到的新的operator。我這裡是都先假設所
→ ocf001497: 有東西導數都well-defined & 不會遇到任何數學上的發
→ ocf001497: 散問題。
我很樂意忽略任何數學發散問題:))
我甚至不知道發散是什麼（面壁
感謝你！
→ gino928: 抱歉我想問個蠢問題，原po說"operator跟矩陣運算一樣
→ gino928: 要從右往左做"可是我怎麼記得矩陣運算沒有這種限制
oh......對吼，矩陣沒有這個限制欸
對不起我錯惹
但是我想operator（原來中文叫運算子），好吧，運算子的順序，由右至左應該是沒有錯的
。
※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/29/2021 00:44:08
→ kuromu: [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]
推 wohtp: 這裡的發散問題其實很簡單啦。在湊commutator的時候你先加
→ wohtp: 再減 Q df/dt，要是這東西爆掉你的推導就爆掉。
→ wohtp: 沒爆就隨便你亂來都會對。