Re: [問題] 瞬時速度方向固定？

[mantour (朱子)]

※ 引述《crazyjonas ()》之銘言：
: 今天有學生問我，瞬時的情況下，
: 由於來不及轉彎，只能走直線，所以位移大小等於路徑長，
: 那如果將許多的瞬時加總，每一段瞬時都只能走直線，那轉彎到底是如何發生的呢？
: 似乎有點矛盾？
: 後來我想或許是與運動獨立性有關，
: 或許可以將弧線軌跡以互垂直的兩基底來分解，兩基底的向量在瞬時中還是各走直線？
: 想請問版上高手的看法，謝謝
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: Sent from BePTT on my Samsung SM-A5260

考慮一個圓周運動
在圓內畫出內接正n邊形
當n很大時, 正n邊形的邊長 a_n , 會越來越接近兩個頂點之間的弧長 2piR/n

也就是當 n 很大時,  a_n - 2piR/n 趨近於 0  ........ (1)

不但如此, 如果把所有邊長加起來時, 內接正n邊形的周長,也會越來越接近圓周長

也就是當n很大時, n*a_n - 2piR 還是趨近於 0 ....... (2)

在計算曲線的長度時, 我們說可以把曲線當作很多小段直線去算
要能這樣算, 只滿足 (1) 是不夠的, 因為每一小段的誤差會累加起來,
即使每一小段的誤差都非常小, 很多小段累積起來也可能變成很大的誤差
必須要滿足(2), 才能保證很多片段加起來, 誤差還是小到可以忽略


現在換一個問題
我要計算的如果是沿著正多邊形走一圈, 面朝方向旋轉的角度
沿著正多邊形的邊長走, 到頂點才轉彎, 每次轉彎的度數是 2pi/n

當n很大時, 2pi/n 會趨近於 0 ......(3)

那我可不可以說, 因為每次幾乎都沒有轉, 所以全部加起來也沒有轉呢?
答案是不行. 因為你知道不管n多大, 每個頂點轉的角度全部加起來會是

n* 2pi/n = 2pi ......(4)

也就是不管你分多細, 繞一圈的角度加起來還是等於2pi.

也就是說

"n很大時 邊長 - 弧長 的誤差趨近於0"

跟

"n很大時 每次轉彎的角度趨近於0"

這兩種誤差 "趨近於0" 是有本質上的不同.

具體來說:
第一種誤差是 誤差乘以 n 之後 還是會趨近於0
第二種誤差是 誤差乘以 n 之後 就不趨近於0了

並不是只要 n很大時 , 誤差會趨近於0 , 就代表這樣的誤差都可以忽略
當你需要把很多小段加起來算總和的時候, 只有第一種誤差可以忽略, 第二種不能忽略

而直線和弧線的差別, 可不可以忽略, 要看你要算的是什麼,
要算路徑長度或速度時可以忽略, 但是要算沿著路徑轉彎的角度時, 誤差就不能忽略.

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※ 編輯: mantour (36.226.168.27 臺灣), 09/29/2021 22:58:32
※ 編輯: mantour (36.226.168.27 臺灣), 09/29/2021 23:00:21
推 zealeliot: 推長知識，有點像1/n跟1/n^2趨近於零的"速度"不一樣嗎?
推 crazyjonas: 謝謝
推 Vulpix: 一樓是對的，弧長差距的等級是n^-3，角度是n^-1。
→ Vulpix: 所以n倍的極限行為自然也不一樣。
推 yuantsai: 請問V大，原po 在弧長的第二式 n*a_n-2piR~0 說明了a_n
→ yuantsai:  趨近0的速度大於1/n, 但是如何得出具體是1/n^3 等級的
→ yuantsai: ？
推 Vulpix: 就是做泰勒展開吧。
推 crazyjonas: 謝謝回應