Re: [問題] 瞬時速度方向固定？

[mantour (朱子)]

感謝C大和V大的回饋, 讓我把想法整理得更清楚

瞬時速度的定義是:

"從某個時間點, 往前或往後取一小段時間間隔, 把這個時間間隔中發生的位移,
除以時間間隔的大小, 得到的值, 如果隨著時間間隔趨近於零時, 會趨近於一個定值
則這個值就是這個時間點的瞬時速度"
所以在瞬時速度的定義中, 是完全不會用到路徑長這個概念的

但是在解題時, 常常會用路徑長取代位移, 來計算瞬時速度

舉例來說
在等速率圓周運動中, 從圓的最ΔΘ高點開始向右走了ΔtΔΘ 的弧度
經過的路徑長為 R ΔΘ, x方向的位移為 R sin ΔΘ, y方向的位移為 -R(1-cos ΔΘ)
但是因為 ΔΘ / Δt = ω
用路徑長除以時間很容易可以算出瞬時速度大小為 ΔS/Δt = Rω

問題是,  這樣算為什麼會對 ?

有一種解釋方式是:
"因為在很短的時間內, 走的路徑幾乎等於直線, 所以位移大小=路徑長"

於是原PO的學生就產生了疑問:
"如果每一小段時間都可以當作直線, 為什麼全部連起來不是直線"

這個問題最簡單的回答就是:

"因為這個解釋是錯的,
這樣算會對是因為我們可以驗證
Δx/Δt = R sin(ωΔt)/Δt , 當Δt趨近於零時的極限是 Rω
而 Δy/Δt = -R(1-cos (ωΔt))/Δt, 當Δt趨近於零時的極限是0
所以瞬時速度大小是 Rω , 方向是 +x 的方向
可以用路徑長去算是因為兩者的極限正好一樣, 老師說時間很短的時候弧長=弦長其實都
是唬你的, 照定義去算才是對的, 實際上圓周運動的任何一段弧線都不會等於直線,
為什麼會轉彎的問題根本不存在, 實際上就是一直在轉彎"

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這個答案100%正確, 但是我覺得並不滿意, 因為幾乎所有的情況下
瞬時速度大小都會等於 dS/dt , 這其中一定有道理。而且為什麼瞬時速度大小會等於
 dS/dt, 但瞬時加速度大小, 卻不是d^2 S/ dt^2 ? (不就是因為有轉彎嗎XD)

我認為要正面回答這個疑問, 應該要試著去探討弧線和直線的差異到底有多
大? 而這個差異在什麼情況下不會影響到我們要計算的值, 在什麼情況下會影響?

先講結論:

如果過曲線上的一點, 取一條直線, 使得在這一點附近, 曲線上的點跟這條直線的距離是
所有過這個點的直線中最近的. 這條過該點最接近原曲線的直線,就是原曲線在這一點的
切線. 此時若把原本的曲線運動投影到這條直線上, 去計算 Δy/Δx , Δx/Δt ,
Δy/Δt 等等在該點的極限, 跟用原本的曲線算出來的極限值, 都會是一樣的.

但如果我們要算的是 d(dy/dx)/dt, d(dx/dt)/dt, d(dy/dt)/dt 等等從
dy/dx , dx/dt , dy/dt 再衍生出來的值, 求出來的值就會不對了.

這個時候我們必須用比直線更接近原本曲線的方程式去計算,
比如說, 如果我找一個二次曲線(拋物線), 使得在這一點附近, 曲線上的點跟這條拋物線
的距離, 是所有過這一點的拋物線中最小的. 這個拋物線, 在這一點附近就又會比切線更
接近原本的曲線, 如果用這個運動在這個二次曲線上的投影去算斜率的變化速率,
x, y方向的加速度等等, 跟用原本的曲線去算出來的結果, 就會是一樣的.
(用二次曲線去算速度也會是對的,但是直線比較好算所以一般都會當作直線去算).

為什麼是這樣?

為了避免跟實驗測量產生的誤差混淆, 我們把用直線跟2次曲線去近似, 跟原本的曲線之
間的差別, 不要叫做"誤差", 把它叫做"餘項"好了. 這裡就可以搬出大家的好朋友
泰勒定理, 它告訴我們在該點附近, 最接近原曲線的直線跟原曲線的差距是 o(Δx)
或更小, 而最接近原曲線的二次曲線跟原曲線的差距是o(Δx^2)或更小. 只要再稍微
做一些推導, 就可以解釋為什麼算速度的時後可以當作直線去算, 要算加速度的時候就
要用到二次曲線去算才會是對的. 我自問沒有能力在此寫出完美無瑕的嚴格證明, 就先
不獻醜.
我想表達的是, 把瞬時的曲線運動, 當作直線運動去做計算, 只在某些情況下會是正
確的, 而且何時會正確的條件, 是可以歸納出一般性的原則的.

此外其實用2次曲線去取代原本的曲線, 可能不是我們最喜歡的一種方式,
另一種更方便的方式是:
過該點畫一個圓, 使得在這一點附近, 曲線上的點到圓的距離是所有經過該點的圓中
最小的. 此時這個最接近曲線的圓, 跟原本的曲線之間的差距, 也會是 o(Δx^2) 或更
小. 所以把原本的運動投影到這個圓上, 變成一個變速率圓周運動, 就可以算出在該點
的切線方向加速度是 d^2 S / dt^2 , 而法線方向加速度是 v^2/R , R是過該點最接近
原曲線的圓的半徑. (其實這個公式, 有些題目也會用到, 此時老師就會說時間很短所以
曲線可以當作圓的一部分, 那學生會不會又問說那為什麼同樣是時間很短, 一下可以
當作直線, 一下又要當作圓?)

總結來說, 面對學生提出的這個問題, 雖然只用這個階段的數學能力可能無法嚴格的
做出推導, 但是我最想給學生的答案會是: 計算曲線運動時, 有時候可以當作一段直線,
有時候卻要當作一段拋物線, 或是當作一個圓去計算 (甚至有時要用比圓更接近的曲線
去算才可以), 這是因為而當作圓或拋物線, 跟當作直線, 跟原本的曲線接近的程度,
是不同的等級. 而要算出正確的答案, 需要哪一個等級的接近程度, 是可以根據你要算
的東西是什麼去決定的.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.140.134.44 (臺灣)
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※ 編輯: mantour (223.140.134.44 臺灣), 10/01/2021 00:52:18
→ cloudwolf: 瞬時加速度用a=delta_v/delta_t這加速度的基本定義去
→ cloudwolf: 算。delta_v雖然是直線，但在v的向量圖上，可以很明顯
→ cloudwolf: 的看出是弦長，在delta_t趨近0時，一樣請阿基米德出來
→ cloudwolf: 用弧長取代弦長。就可以得到a=Rw^2。整個過程只用到除
→ cloudwolf: 法跟極限，還有瞬時速度的結果。比用a=d^2_s/d_t^2簡
→ cloudwolf: 單多了。
→ cloudwolf: 任意曲線運動會比較麻煩，因爲V2與V1的量值也不同，所
→ cloudwolf: 以delta_v在向量圖上不是弦線。不過沒關係，將delta_v
→ cloudwolf: 向量用弦長與垂直於弦的直線表示。分別處理，一樣可以
→ cloudwolf: 用簡單的除法跟極限，算出加速度。
→ mantour: 只要用定義去算, 都是對的. 不過你用向量圖算的時候, 其
→ mantour: 實也用了很多隱含的前提, 比如有些角可以當作直角, 有些
→ mantour: 不一樣長的線段可以當作一樣長之類的
→ mantour: 不過你說的對, 原原PO的問題也許只是學生定義不清楚, 是
→ mantour: 我離題了
推 ERT312: ds/dt = |v|, (v是瞬時速度) 數學上是可以證明的
→ ERT312: 必須先知道曲線長的定義，當然並不是任何曲線都有長度
→ ERT312: 不過還好運動軌跡所畫的曲線都具有某些良好特性 包含長度
→ ERT312: 從定義出發可以推導出曲線長公式 推導會用到一致連續的某
→ ERT312: 些性質 (應該是高微的內容) 然後可以證出 ds/dt = |v|
推 a547808588: 其實應該是（古典）微分幾何，有興趣去翻一翻do Carm
→ a547808588: on那本就有了
推 bellas: 現在國中沒教十分逼近法了嗎 泰勒也是在逼近 要多準看展開
→ bellas: 多少 物理要考慮現實 圓周率我記到3.1515926 自然數2.9182
→ bellas: 81828459045 光速299792458 重力加速度 9.78 要完美不妥
→ bellas: 協那是數學 物理必需考慮現實狀況
→ bellas: 爲何要有這些逼近方法 因爲人要能處理得到最接近的答案 只
→ bellas: 能盡力去逼近 現在有電腦給電腦去逼去 因爲有無理數這鬼東
→ bellas: 西直混在裏頭 光簡單蓋個金字塔 必需用到三角函數 三角要
→ bellas: 開庚號 又沒事沒法處理了 那想方法逼出最接近的答案 所以
→ bellas: 有十分逼近法 這上千年前的問題還ㄧ直混在現代科學裏 反
→ bellas: 正就有無理數這鬼東西 圓周率 把一個圓切成很多很多小小一
→ bellas: 段來處理 做個妥協 他超小段時是直線運動 然後把這很多加
→ bellas: 起來不就行了 要算出圓周率就反過來 越多角型越像個圓
→ bellas: 蓋個金字塔沒需要精確到小數點後很多很對位
→ bellas: 不然看個像人造衛星繞地球做圓周運動 但觀察者直接上太空
→ bellas: 旁邊看 它在做自由落體運動向
→ bellas: 同樣類比 做啥種運動 看觀察者在哪個座標系
→ bellas: 在太空站的人感覺不到有重力 可是他們在旁觀者看一直在當
→ bellas: 自由落體 太空站的人說他們明明沒動啊 可是從旁邊看他們就
→ bellas: 在當自由落體
→ bellas: 但太空站裏的人看著窗外 欸 會一直向前飛的感覺
→ bellas: 望下望地球 看起來會是風景看起來是平面
→ bellas: 因爲太空人在的座標系是繞著地球在做圓周運動
→ bellas: 把這些相對運動縮小很多 就是您的問題了
→ bellas: 很多事沒那麽復雜 能量守衡代表一個東西他很穩定的就在那
→ bellas:  我們蓋個房子 可能怕潮濕 要離地高點 那要怎樣高點 最簡
→ bellas: 單 那棒棒把房子撐起來 一根棒棒除非那棒棒超大一根 不然
→ bellas: 難 那兩根棒棒 還是要很大根 試試當然好要三根 這三根撐起
→ bellas: 該怎麼放 試試正常會是正三角型好 可是房子蓋久了 也發現
→ bellas: 要正三角不小心發現要真正三角計算時要碰到根號問題 那煩
→ bellas:  直接再加一根就解決了 房子越蓋越大 靠北不管了 牆直接
→ bellas: 有撐著 重要地方加樑柱加強 人就越來越努力找出偷懶逃避現
→ bellas: 實的方法
→ bellas: 林北懶得算了啦
→ bellas: 國三在那努力逼近的小弟的感想 能避開就避
→ bellas: 常見的樂器 吉它 其實它的音是不可能調準的 就是調成像鋼
→ bellas: 琴一樣 提琴類樂器沒琴隔沒這問題 真正吉它音要能調到完
→ bellas: 全準會長這樣
→ bellas: https://youtu.be/OUoo1FKCs2I
→ bellas: 但不準還在可接受範圍就一直算了
→ bellas: 人目前只會玩到1/4音 那個誤差太小 小到就算是協奏曲也無
→ bellas: 所謂
→ bellas: 真正的音感夠的會適狀況可能邊彈邊調
→ bellas: 樂器聲音馬上就來來周期運動的問題 問題是這有問題從有吉
→ bellas: 它就有了 理論算必有誤差 還是這麼根本其實實是 就只為了
→ bellas: 方便懶的誤差 這誤差太小 小到可能是是按弦時 往旁邊一點
→ bellas: 而已
→ bellas: 琴格上只就一條還是搞那麽麻煩但又沒多少人聽得出來 那就
→ bellas: 簡單一條了事
→ bellas: 現實世界就沒完美的事存在 因爲有無理數 與其去逼近不如
→ bellas: 能懶就懶 理論歸理論 真拿來用 不能偷懶就逼近看要多精準
→ bellas:  反正現在有電腦 讓電腦去逼
→ bellas: 牛頓先生的時代 要手算 他要想辦法 國中時沒真算過有多累
→ bellas: 嗎 去算一下 用到泰勒很人性化了
→ bellas: 高中才只會展到x^2
→ bellas: 叫他們多展開點試試 展到看看算到小數點後反正看時間 越多
→ bellas: 越好 手算一次試試
→ bellas: 真去感受一下
→ bellas: 不然平常看到個根號2根號3都沒感覺一下 去逼一次
→ bellas: 逼一次 很自然就不得不接受 沒事來個驅近於啥 很自然
→ bellas: 就像行星運動 用圓算出來個大概先 有需要在用橢圓
→ bellas: 您不想叫誤差想叫餘項的 那個就是誤差
→ bellas: 每段的小小直線它有有點點灣 不是真直線 就是妥協當直線
→ bellas: 整個問題就出在 明說了幾乎能當做直線 小朋友確問的是明
→ bellas: 明是直線 連被問的都忘了說了 幾乎 這兩個字
→ bellas: 幾乎可以換成驅近也行
→ bellas: 回歸古人 他們要手算 真算過 會想偷懶 這些真手算看看 就
→ bellas: 國中的十分逼近法
推 Roshiel: 樓上，我國中就沒教十分逼近法了