[問題] The variation of metric

[QuantaWolf (光太狼)]

最近在算g_{μν}的variation 發現一件奇怪的事

一般我們都定義δ g_{μν} / δg_{αβ} = δ^α_μ δ^β_ν
（先不論有無symmetrize 結果）

那根據g^{μν} g_{μν}=dimension of space time，
對這個Lorentz scalar做variation 應該會是零，所以δ g^{μν} / δg_{αβ} = -g^
{μα} g^{μβ}

那根據這個結果對 g_{μν} a^{μν} 和g^{μν} a_{μν} 這兩組同樣的scalar用δg
_{αβ} 變分，就會分別得到+a^{αβ}和-a^{αβ}，不一樣的答案

想知道這變分到底哪裡出錯，為何會得到contradictory的結論？

詳細見下圖：

https://i.imgur.com/yOJMat7.jpg



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 47.20.59.170 (美國)
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※ 編輯: QuantaWolf (47.20.59.170 美國), 03/20/2022 02:58:14
→ QuantaWolf: 會有這個問題是我實際去算δ L / δ gμν 想得到某
→ QuantaWolf: 個Lagrangian 的symmetric energy momentum tensor的
→ QuantaWolf: 時候發現的，怎麼想也想不通實際上哪裡出錯
→ ocf001497: 應該是因為你的最後一行的左邊是fix a_{\mu \nu} 然後
→ ocf001497: 對 g_{\alpha \beta} 做 variation。但是你最後一行右
→ ocf001497: 邊是fix a^{\mu \nu} 然後對 g_{\alpha \beta} 做 vari
→ ocf001497: ation。所以你兩邊的variation意義不一樣。要比較的話
→ ocf001497: 你右邊的式子應該要把a^{\mu \nu}視為function of g_{\
→ ocf001497: alpha \beta} and a_{\mu \nu}。因為metric的值會影響r
→ ocf001497: aising & lowering indices的結果。
推 LeFilsDuVent: 原因是因為有metric藏起來沒有微到所以少了一些項
→ LeFilsDuVent: 例如如果你的a_{\mu\nu}如果跟metric無關(say,
→ LeFilsDuVent: field strength)，那麼a^{\mu\nu}就會跟metric有關
→ LeFilsDuVent: 所以藏著的那些inverse metric貢獻的項都沒算到
→ LeFilsDuVent: 一個經典的例子是去算算電磁學的energy-momentum
→ LeFilsDuVent: tensor，你變分完檢查一下是否traceless，就知道其
→ LeFilsDuVent: 中一個對另一個算法錯，而問題也出在藏著的metric