[問題] 相對論計算問題

[canilogin (天氣預報)]

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【出處】(習題或問題的出處)

        普通物理教科書

【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)

        太空船以0.6c(c:光速)接近地球:
        在太空船距地球6x10^11m處,地球發光訊號給太空船,
        求(a)地球上的人測算的(b)太空船上的人測算的,光從地球發出到太空船的時間.

【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導)

        書中解答(a)1.3x10^3s 我自己算是1.25x10^3s,算誤差範圍內,
        但(b)的解答是2.5x10^3s,這點我就無法理解了,
        個人思路是,即使太空船不動不接近地球,光也只需2x10^3s就能到達太空船,
        以0.6c接近地球,距離收縮,時間應該會更短,
        直接以距離收縮因子0.8計算是需時1.6x10^3s

        我猜測書本解答是將2x10^3s除時間膨脹因子0.8得到的,
        但這種算法難道不是應該由(a)的答案1.25x10^3s來除的嗎?
        只是我自己除的結果是1.5625x10^3s
        和另一個算法的1.6x10^3s仍有誤差,對不太起來,
        想請高手解惑,指出問題在哪裡,感謝!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 58.114.86.133 (臺灣)
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推 VivianAnn: 第二題是 gamma*(6*10^11)/c，答案沒錯吧
→ canilogin: 這樣無論太空船接近或遠離地球都會算出一樣的答案，不
→ canilogin: 太合理，我目前是傾向於將(a)的1.25x10^3s直接除gamma
→ canilogin: 也就是算出的結果是1x10^3s
→ canilogin: 大概了解了,另一方法先算光與太空船交會點,找出收縮後
→ canilogin: 的距離再算出的時間也是1x10^3s
推 VivianAnn: 有空我簡單回你一篇，個人是建議用lorentz transform
→ VivianAnn: 來列出算式會比較清楚
推 RicciCurvatu: 欸距離收縮不是這樣用的 例如一輛火箭跟你有相對運
→ RicciCurvatu: 動 火箭頭跟火箭尾都有相對速度才會收縮 單純的兩個
→ RicciCurvatu: 相對運動的質點是沒辦法定義羅侖茲收縮的
→ RicciCurvatu: 你這個想法比較大的誤區應該還是同時性 就是太空船
→ RicciCurvatu: 上的人實際上會覺得這光是更早之前發出來的
→ canilogin: 我的意思是,太空船與地球對光發出的時間點,並無絕對的
→ canilogin: 同時性,所以題目要求的兩坐標系計算的光時程,其實就是
→ canilogin: 兩坐標系分別看到的,太空船從6x10^11m處到接觸光訊號的
→ canilogin: 位置的時程,才合理,這也是可以準確計算的...
→ canilogin: 問題是Lorentz轉換在低速情況時也要可以近似於古典力學
→ canilogin: 的Galilean轉換,由古典轉換很明顯可以看出,即使太空船
→ canilogin: 在6x10^11m處的初速為0,兩坐標系看到的光訊號到達太空
→ canilogin: 船的時間都不會超過2x10^3s,並因太空船速度漸增而讓時
→ canilogin: 間進一步遞減,之後才由於Lorentz轉換的關係而有分別,但
→ canilogin: 時間變動的大趨勢應該是一樣的,都不會超過2x10^3s
→ RicciCurvatu: 你這樣想好了 既然兩者呈相對運動 不妨假設地球時間
→ RicciCurvatu: 在地球發光的同時 太空船也發一道光 地球上的觀察者
→ RicciCurvatu: 當然是有太空船接到光然後自己才接到太空船發的光對
→ RicciCurvatu: 吧? 我有點看不懂你的回覆你自己嘗試畫一下世界線吧
→ RicciCurvatu: ..
→ RicciCurvatu: 總之以太空船坐標系來說 地球發光的同時 太空船覺得
→ RicciCurvatu: 自己與地球的距離大約是6e11／0.8
→ canilogin: 我也看不懂你的回覆,因為太空船和地球因坐標系速度不同
→ canilogin: 並沒有同時的說法,所謂同時應該單指地球座標在太空船在
→ canilogin: 6e11處的"同時"地球發光,對地球來說,太空船會在距離地
→ canilogin: 球(5/8)*6e11遭遇光訊號,這段時間對地球來說是1.25e3
→ canilogin: 而太空船座標要算的是太空船自己從6e11到(5/8)6e11行
→ canilogin: 經距離的時間...太空船即使發光,也無法實際量測光到達
→ canilogin: 地球的時間點,而這題其實和π 介子以近光速接近地球的
→ canilogin: 經典題型其實是一個意思,一樣行經一段距離,介子感覺自
→ canilogin: 己的時間不變,但地球座標會認為介子的時間延長,也因此
→ canilogin: 同一段路程地球時間1.25e3,太空船時間應該更短...
※ 編輯: canilogin (58.114.86.133 臺灣), 06/05/2022 09:20:21
推 AnnaOuO: 我覺得原po沒說錯啊 想聽聽其他人的解釋
→ variation: 採太空船是撇座標，相對地球的靜止座標以v朝地球運動
→ variation: 取發光跟接收是兩事件，用Δt'=γ(Δt-vΔx/c^2)
→ variation: 即可算出同R大的結果
→ variation: Δt'=太空船測定的時間，Δt=地球測定的時間，
→ variation: Δx=－(5/8)*6*10^11＜0，γ=1/0.8＞1
→ variation: 所以Δt'＞Δt，與原po說不符
→ RicciCurvatu: 還是寫算式吧 靜止坐標系 (t,x/c）地球發光瞬間坐標
→ RicciCurvatu: 取A(0,0)  火箭坐標B（0, 2e3) 火箭接受到光的坐標C
→ RicciCurvatu: （1.3e3,7.5e2) 轉換BC點時間坐標tB' =-1.5e3, tC'=
→ RicciCurvatu: 1.06e3,相減即得