Re: [問題] 斜拋位移持續增加的角度值

[dealifeth1 (dealifeth)]

提供不用微積分的解法

思路：位移持續增加，代表全程位移和速度均夾銳角。

列出內積後，判別式小於零

https://i.imgur.com/8QJXCiT.jpg


※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言：
: ※ 引述《dgju2990 ()》之銘言：
: : https://i.imgur.com/ffKY52w.jpeg
: : 如圖
: : 假設一物體以相同初速斜向拋出，若該物與原點的位移持續增加時，
: : 所能得到的最大sinθ值為多少？
: : 像上面那張圖就是位移持續增加，下面就是過最高點後開始減少了
: : 原本想法是用軌跡方程式算出X,y平方是距離，然後在微分大於零就是漸增了
: : 但中間數學有很大的代溝
: : 再來嘗試用向量來算
: : https://i.imgur.com/nSZ5p5G.jpeg
: : 還是不知道怎麼求出sin最大值，求救希望能在普物範疇內解釋
: : 答案是sinθ=2*2^0.5/3 （3分之2根號2）
: : -----
: : Sent from MeowPtt on my iPhone
: 從你的向量圖或直接從向量內積做起
: s^2 = (1/4)(g^2)t^4 + (v^2)t^2 - (vgsinθ)t^3
: d(s^2)/dt = t[(g^2)t^2 - (3vgsinθ)t + 2v^2]
:           = t(t - t')(t - t")，  t < t' <= t"
: 落地時間t* = (2v/g)sinθ，
: 直接比較可知t* >= t'
: 代表如果t' =/= t"，則落地前必發生s從增長到縮減的轉捩點
: 這不是我們要的狀況
: 所以題意要求的狀況必然是發生在(3vgsinθ)^2 - 8(gv)^2 <= 0的條件下
: => sinθ <= (2/3)√2 = (sinθ)_max
: 這應該不是普通的普物題吧？

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.206.253 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1702479222.A.0AC.html
→ musicbox810: r‧v>0有不用微積分的證明嗎？
https://i.imgur.com/6BYewvW.jpg
※ 編輯: dealifeth1 (111.242.206.253 臺灣), 12/13/2023 23:45:42
※ 編輯: dealifeth1 (111.242.206.253 臺灣), 12/13/2023 23:46:47
→ musicbox810: 這個應該不能算證明，只是微積分做出來的結果圖解
→ musicbox810: 而且r.v>0，你直接把t約掉，然後後面又把t當變數，很
→ musicbox810: 奇怪，過程有點問題
→ mhch: 我也是用這麼解，兩向量內積需大於等於零，內積出來的函數
→ mhch: f(t)=0的解頂多一個非零的解或無實數解，t不為零，則可約掉
→ mhch: 一個t變成t的二次函數，接下來就看你要用配方法或判別式去求
→ musicbox810: t不為0，不等式約去也會有大於小於變號的問題
→ mhch: t為正值，約掉不用變號；約完後為開口朝上的拋物線...
→ musicbox810: f(t)=0的解頂多一個非零的解或無實數解，這要怎麼看?
→ mhch: 無實數解，就代表找不到函數小於0的時間
→ mhch: 等於零的那一個就是過程中有一個時刻點剛剛好兩向量垂直
→ musicbox810: 所謂t為正值，是指f(t)=0的解，怎麼知道不會有負解?
→ mhch: t為已拋出開始計時經過的時間，物理經過的時間不會有負值
→ mhch: 你可以試試看用公式解得f(t)=0的t解長怎樣，只有一解會怎樣
→ mhch: 判斷看看那一解會不會是負的
→ musicbox810: f(t)=tg(t)，g(t)為二次函數，假設我們只管t為正值的
→ musicbox810: 區域，要求tg(t)在此區間>0，那就算g(t)判別式>0，照
→ musicbox810: 樣做得到。
→ mhch: 要滿足題意式應該t無實數解，也就是判別式要小於零
→ mhch: 不存在你所說的判別式大於零的情況
→ mhch: 數學上畫那t的二次函數會有部分區域在t<0的地方
→ mhch: 但是物理限制就是只能有t>0的區域
→ musicbox810: 所以既然是t無實數解，是包含整個實數域，就不應該直
→ mhch: 那二次函數取t>0的區域找符合滿足函數為零的時刻t要嘛一個
→ mhch: 要嘛就是找不到，也就是整個二次函數都在t軸以上
→ musicbox810: 接將不等式的t約掉。這題可以剛好約掉，是因為f(t)的
→ musicbox810: 函數表達式有受到限定，而不是直接約掉t當作通則。
→ mhch: 對阿，以這題物理限制當然就直接約掉就好，我們是在處理物理
→ mhch: 問題，不是在處理滿不滿足通則的數學問題，在限制下可以滿足
→ mhch: 當然就如此做就好
→ musicbox810: 我再想想好了，謝謝
→ mhch: t無實數解，以這題來說就是限制在t>0的區域找不到t可以使得
→ mhch: f(t)=0，這已經自動限制只能找正實數域，根本不用考慮負實數
→ mhch: 我前面有講錯:無實數解，就代表找不到函數"等"於0的時間
→ dealifeth1: 那個若r漸增，則r‧v>0的數學證明我覺得不用微積分應
→ dealifeth1: 該是不行的
→ dealifeth1: 不過解題的話應該能說出個理由就行吧
→ dealifeth1: t的部分同m大說的
→ dealifeth1: mhch 大
→ mhch: 如果判別式方法還無法接受，那試試配方法吧
→ mhch: https://i.imgur.com/8QJXCiT.jpg
→ mhch: https://imgur.com/a/CDfvR0b
→ musicbox810: 這個作法還有另外一個問題，實際上只要落地前r.v>=0
→ musicbox810: 就好，所以不是單純直接配方法令常數項>=0就好
→ mhch: 您自己看看函數極小值時的時間是不是在飛行時間裡？
→ mhch: 您自己看看函數極小值時的時間是不是在飛行時間裡？其它時
→ mhch: 間包含飛行的其間符不符合？況且我們也是只要飛行時間內符合
→ mhch: 合就好，沒必要去扯非飛行的時刻
→ dealifeth1: 實際上r‧v=0的時間點只會在過最高點後到落地時間前
→ dealifeth1: 不用考慮落地時間後
→ dealifeth1: 即便是設定從高處斜拋，低於初拋高度後因為r和v的方向
→ dealifeth1: 都必在第四象限，所以兩者必夾銳角
→ mhch: d大～您說的是對的，我上面是回應mucicbox810
→ mhch: 我認為他很拘泥在數學上的函數的值域是否都符合，但是物理
→ mhch: 是只要討論滿足物理情況的範圍就好
→ dealifeth1: 同感
→ Bugquan: 物理上很多都是先做了再說，感覺怪怪的再修正。