推 dinks: 感恩您，獲益良多。好人一生平安。 01/31 15:27
※ 引述《dinks (丁克思)》之銘言：
: 題目及我解到後面卡住的內容如下。
: 本題正解是(D)，但可憐的我算不出來 QQ
: 【出處】普物
: 【題目】
: https://i.imgur.com/GF4PuRQ.jpg
: 【瓶頸】下面是我的解法，算到後面發現M的動能居然是負的，我就知道我一定有什麼觀
: 念是錯的，所以整個卡死。還望先進指點，感恩。
: https://i.imgur.com/7M72kVE.jpg
你的V_m是由M當觀察者
若由地球當觀察者，V_m不會與M相切
而V_M是由地球當觀察者
換句話說，你的坐標系亂掉了
以下皆取地球當慣性座標
以M的圓心為原點，以m在最高點的時刻t為0
x、y分別為m的x、y座標
X為M的x座標
T為m恰好脫落時的t，即cos[θ(T)]=0.7
x、y、X、θ皆為時間t的函數
則
x=X+Rcos(π/2-θ)=X+Rsinθ
y=Rsin(π/2-θ)=Rcosθ
x'=X'+Rθ'cosθ (1) ('是對t微分)
y'=-Rθ'sinθ (2)
x"=X"+Rθ"cosθ-Rθ'^2 sinθ (*)
y"=-Rθ"sinθ-Rθ'^2 cosθ (**)
m、M分離時，m只受重力，M處於力平衡
因此 x"(T)=X"(T)=0，y"(T)=-g
t=T分別代入(*)(**)式得
Rθ"(T)*0.7-R[θ'(T)]^2*(√51)/10=0
==> θ"(T)=[(√51)/7][θ'(T)]^2
-Rθ"(T)*(√51)/10 - R[θ'(T)]^2 * 0.7 = -g
==> -R(√51)/10 * [(√51)/7][θ'(T)]^2 - R[θ'(T)]^2 * 0.7 = -g
==> θ'(T)=√(0.7g/R) (***) (負不合)
又 mx'(T)+MX'(T)=mx'(0)+MX'(0)=0 (動量守恆)
t=T配合上式代到(1) 得
mX'(T)+0.7 mRθ'(T)+MX'(T)=0
==> X'(T)=-0.7 mRθ'(T)/(m+M) (i)
又t=T分別代入(1)(2)
x'(T)=-0.7 mRθ'(T)/(m+M) + 0.7 Rθ'(T)
=0.7 MRθ'(T)/(m+M) (ii)
y'(T)=-(√51)/10 * Rθ'(T) (iii)
由力學能守恆
0.5m([x'(T)]^2 + [y'(T)]^2) + 0.5M[X'(T)]^2 = mgR(1-0.7)
把(i)(ii)(iii)代過來 得
0.5m[{0.7M/(m+M)}^2 + 0.51][Rθ'(T)]^2 + 0.5M[-0.7m/(m+M)]^2 * [Rθ'(T)]^2
= 0.3mgR
由(***) [Rθ'(T)]^2 = 0.7gR 代入上式觀察可知 gR都會被約掉
而m、M可化為單一待解數 M/m = a
剩下的計算不難，比在這裡打字還簡單
努力一下可得到
0.292 a^2 - 0.416 a -0.708=0
a≒[0.416+√(0.173+0.827)]/0.584 ≒ 2.424
(負不合)
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√￣≡～├╞≦≧∩∪ˇ∫∮㏒㏑≠≒±╳×→∞⊥
☰☱☲☳☴☵☶☷☹☺☻☼☽W☽☼☽✉
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