Re: [問題] 高中萬有引力質點

[kuromu (kuromu)]

部分離題
我查殼層定理適用哪些連心力
至少有兩種證法
一種是假設作用力大小是r^n
利用 等效點源造成的力=殼層積分後的合力 的式子
算出積分後 討論可能的n
另一種也是考慮 等效點源造成的力=殼層積分後的合力 的式子
但是作用力的部分只寫作F(r)
可以推導出其滿足的微分方程 (a為等效點源到受力點的距離)
(a^2/2)F”(a)+aF’(a)-F(a)=0
可另預解為a^m 或設a=e^x代換變數求解
兩種方法都可求出滿足殼層定理的連心力為Ar^(-2)+Br
但是我不知道該怎麼推出那個微分方程
試著整理積分成a的函數 可是積分上下界都和a有關
用Leibniz integral rule算 會跑出F(a-R),F’(a+R)很多項不知道該怎麼處理

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→ musicbox810: 可以請問一下第二種證法的出處嗎?謝謝
→ kuromu: The cosmological constant in the McCrea-Milne
→ kuromu: cosmological scheme
→ kuromu: 然後我發現那個微分方程和解球座標下Laplace方程
→ kuromu: 分離變數後r那部分方程,l=1時的一樣,有點神奇
→ Bugquan: https://reurl.cc/Xq7N5e
我本來是想把積分完全去掉再找出微分方程
模仿連結裡的泰勒展開作法
處理F(a+R)-F(a-R)或F(a+R)+F(a-R)之類的式子
如果完全去掉積分 需要在恆等式微分三次
得到F’”= Ar^(-5)+Br^(-2) 這樣求不出F中Br的部分
如果微分兩次,且積分中的F(r)用泰勒展開表示再積分
得到F”= Ar^(-4)+Br^(-1)
如果微分一次,且積分中的F(r)用泰勒展開表示再積分
得到F’= Ar^(-3)+B 開始可以得到F中Br的部分
而連結中沒有對恆等式微分,直接對F(r)用泰勒展開表示再積分
※ 編輯: kuromu (114.47.97.192 臺灣), 04/01/2024 21:40:20
→ kuromu: 如果一定要用泰勒展開,我感覺第二種求法,可能只是把第一
→ kuromu: 種討論r^n到做法化為等價的解微分方程問題