[心得] 預期用球數量計算

[Proxima668 (比鄰星)]

這篇談的是利用統計理論來分析抓寶用球數的期望值。

Gamepress在計算捕獲率方面有詳細的分析 (https://goo.gl/2T15oC)，但是在預期用球
數方面只有提供計算結果，並沒有提供式子。

後來我在SilphRoad 上找到一篇文章 (https://goo.gl/HQsKNu) ，提供了這個式子: 1/(p+f-pf) 測試結果與Gamepress結果相同。

即使如此，作者並沒有提供推導過程。我試著自行推演，得到類似但有點差距的結果，所
以昨天發文到Math.StackExchange去詢問，得到很好的回覆 (https://goo.gl/Jw6y1z)。以下就網友Awkward 的答覆略作補充說明。詳細內容還需要參照Math.StackExchange的文章。

假設B是用球數，變數C=1或0，1代表抓到怪，0代表怪逃走。

以條件機率列式:

    E(B) = E(B|C=0) Pr(C=0) + E(B|C=1) Pr(C=1)
    E(B|C=0) = Σ[x Pr(B=x, C=0)/Pr(C=0)]，x=1...infinity
    E(B|C=1) = Σ[x Pr(B=x, C=1)/Pr(C=1)]，x=1...infinity

但Pr(C=0) 和 P(C=1) 是一個常數，所以分子分母相消之後成為

    E(B) = Σ[x Pr(B=x, C=0)] + Σ[x Pr(B=x, C=1)]

結果與Gamepress所用公式相同。

以遞迴方式列式:

    E = p x 1 + f x 1 + (1-p)(1-f)(E+1)

式子的意思是有三種情況:有機率p的可能是用球數為一(一球入魂)，有機率f的可能也是
用球數為一(一球跑)，還有(1-p)(1-f)的機率用球數為(E+1)




--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.162.58.143
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/PokemonGO/M.1507731104.A.D0C.html
推 camellala: 快推，別人才不會以為我看不懂
推 senha: 看不懂沒關係，認真文就推XD
感謝! 其實我也有PO到統計版，但那個版大概人氣太低，目前還沒甚麼反應
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:22:40
推 intointo: 先推再說
推 Capufish: 原來是這樣
推 GauLiTsai: 我覺得以測不準原理加上人品手感網路及設備等四維條件
→ GauLiTsai: 搭配大統一理論來推測會比較完備
推 Davidgood: 建議可以舉實際的例子，例如雷公，不然很少人看得懂
推 satan04: 幫樓上統整一下 「感覺」比較完備
其實這篇的唯一目標就是解釋 1/(p+f-pf)這式子怎麼來的
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:33:02
如果是需要知道平均用球數，用gamepress的calculaor算就可以。話說神獸用的計算器不
同，因為球數有限
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:38:38
推 ia220629: 雖然知道這個意義不大XDDD 但還是推
→ ia220629: 這篇是指會逃跑的野生怪 所以跟雷公無關
→ ia220629: 玩家只要知道球盡量丟曲球丟準就對了 這篇給對數學有興
→ ia220629: 趣的人看的XD
→ lsj312: 以雷公為例，假設每球都用金莓+曲球+半徑r=0.5的great，
→ lsj312: 單球捕獲率約為13%（即p=0.13），逃跑率f在頭目戰為0，則
→ lsj312: 用球數期望值為1/（p+f-pf）=1/p=1/0.13=7.69球
這個式子是假設球數沒有限制，但在頭目戰最多只有14球，所以會有誤差，精確結果要一
球球累加
→ lsj312: 實際情形當然因每手感不同而影響機率
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:44:09
推 ia220629: 對啦 頭目來說逃跑代入0就好 所以玩家可以期望拿8顆都
→ ia220629: 丟好就會抓到 只是我常常事與願違就是了XD
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:48:59
推 keith291: 這篇的內容最不適用的就是頭目戰 球數條件完全違背
→ keith291: 逃跑代入0也是錯的
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:56:04
→ Secertman: 頭目:球數有限制+不會逃跑 野怪:球數無限制但會逃跑
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:57:07
這也是為什麼Gamepress的計算器分為兩種，同時頭目戰用的不提供預期用球數，但其實
還是可以算，只是要一球一球累加
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 23:01:15
推 ia220629: 機率真好玩 雖然很久沒碰惹 明天來仔細看看當打發時間
推 YANKS: 哈哈 看不懂！我只知道今天打火精靈即使有14球還是跑掉XDDD
→ keith291: 然後遞迴式是因為 E 為球無限穩定態不會因為繼續丟改變
→ keith291: 所以可以直接再丟1球反解
推 ia220629: 但如果只是要得到期望值的話應該可以代0沒關係？假設球
→ ia220629: 是無限的這件事就算跟事實不符應該也沒關係？
"假設無限的這件事就算跟事實不符也沒關係?"這個問題很有趣。這麼說吧，世界上沒有任何圓形物體符合完美的圓，但提煉出圓的這個概念實際上有極大的幫助。在球數的這個例子，假設用球數無限可以得到精簡的式子
→ keith291: 他計算過程Σ已經從x=1加到∞了  跟你從1~14或更少完全
→ keith291: 不一樣結果  公式長得漂亮是因為無窮等比級數
→ keith291: 你自己加一遍到頭目戰有興趣的球數 算出來都不一樣
推 ia220629: 還好我不是唸數學系..還是不太能理解為什麼不能假設球是
→ ia220629: 無限的 只是實際測試必須停在14顆（或更少）這樣 但還是
→ ia220629: 很感謝你的解釋～
推 xxakigo: 推起頭的討論優文
→ AAaaron: 覺得意義不大,跟Pokemon關係也不大,就機率公式推導而已
推 AAaaron: 但認真給推~
噓 darkMood: 吃飽太閒，統計別來亂。
推 ibook0102: 需要更多這類文章
推 Div: 推！ （很久沒打開數學課本了....）
推 hstf: 你數學系？
→ enoeht20181: 真的很多人以為數學系在算這種東西 實際上差太多了
→ way0106: 這只是高中數學  數學系研究的是數學理論
→ jengjye: 問一下 以 "結果與Gamepress所用公式相同" 為分界..
→ jengjye: 上下根本看不出關聯性啊....是少列很多假設還是?
這裡談了兩種列式的方法，第二種是遞迴法。不過第一種的條件機率並非必要，更簡單的
是 1xP(一球抓到）+ 1xP(一球跑）+ 2xP（兩球抓到）+ 2xP(兩球跑）+ .....
/1221:52
推 ia220629: 說數學系只是覺得忘成這樣 必修的機率與統計會GG吧..
※ 編輯: Proxima668 (101.15.81.240), 10/13/2017 09:52:20
※ 編輯: Proxima668 (101.15.81.240), 10/13/2017 09:59:59
※ 編輯: Proxima668 (59.120.24.158), 10/13/2017 10:30:16
→ jengjye: 我自己算抓到寶期望值是 P(一球入魂) + p/((p+f-pf)^2)
→ jengjye: p是捕獲率 f逃逸率   p(一球入魂)  應該要另外看待......
→ jengjye: 後來又覺得有誤解某些定義.. E(B)= p/((p+f-pf)^2) 即可
→ jengjye: 沒算到烙跑 那應該會是 (p+f)/((p+f-pf)^2) 才對
→ jengjye: (p+f) + 2(p+f)(1-p)(1-f) + 3(p+f)(1-p)^2(1-f)^2...
抓到的場合，上式正確，但逃跑的場合，上面的式子少了一項(1-p), 也就是P(一球跑)=(1-p)f, P(兩球跑)=(1-p)(1-f)(1-p)f, P(三球跑)=(1-p)(1-f)^2 (1-p)^2 f
→ jengjye: 數學的話 到這為止只用到無窮數列的計算而已
※ 編輯: Proxima668 (1.162.53.134), 10/16/2017 21:57:25
推 jengjye: 我最後的式子已經包函跑掉的部分了..
推 jengjye: 我上面幾行的才是只有計算捕獲的部分，我也修正了