[心得] Codeforces 603B

[rareone (拍玄)]

最近在刷些題，所以如果寫題目有些感想會在這邊多發點寫題心得，順便賺點批幣

題幹：印出有幾個從 {0,.., p - 1} 打到自己的函數 f （不一定是排列），使得
f(k * x mod p) = k * f(x) mod p

作法：
因為 (Z_p \ {0}, *) 跟 (Z_{p - 1}, +) 同構，可以把 *k 這個操作會生出一些 cycle 分別是
1 -> k -> k^2 -> .. -> 1

印此每個 cycle 大概長這樣
a -> a * k -> a * k^2 -> .. -> 1 -> a

特別地，0 自成一個cycle

每個 cycle 可以抓出一個元素來 represent
寫作 0, a_1, a_2, a_3, .., a_n

讓每個代表打到 {0, .., p - 1} 可以唯一決定一個函數，構造方法就如給定規則


這題其實可以做到跟分解 p - 1 速度一樣快，方法是
寫作 p - 1 = \prod_i q_i^{r_i}

對於每個 r_i 逐一測試最小的 t_i 使得 0 <= t_i <= r_i 且
a^{q_i^{t_i} \prod_{j != i} q_j^{r_j} = 1

那麼 k 的 ord 就是 a^{\prod_i q_i^{t_i}} cycle 數量就是 (p - 1) / ord


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推 FRAXIS: 最後那個方法是哪個 theorem?
→ rareone: 如果要套 thm 我不是很清楚他叫什麼
→ rareone: 但首先可以發現 a 在 Z_p 下的 order 一定是 p - 1 因數
→ rareone: 設 a 的 order 為 ord 則 a^x = 1 mod p iff x % ord = 0
→ rareone: 可參考題目 CF1027G
→ rareone: 該題真的很裸