Re: 想問各位先進一個統計問題

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《Jerrychiang (Y.J.Chiang)》之銘言：
: 手機排版抱歉
: 同事問了一個問題我實在不知道怎麼解，放上來請各位先進指導，
: 樂透彩從1-49中任取6個號碼（取後不放回），小明選了2.3.5.7.11.13六個號，變數x
: 是小明選中的號碼數量，變數T是樂透抽出的六個號碼加總（ex 樂透抽出5.10.15.20.
: 25.30，X=1，T=105)
: Q1: T的期望值E[T]，小明六個號碼都中的期望值E[T|X=6]，以及全部沒中的期望值
: E[T|X=0]
: Q2: X和T是否獨立
: Q3: X^2的期望值E[X^2]與X變異數Var[X]
: 麻煩各位提供我一些想法，謝謝大家的幫忙
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有專門的統計版，再不然還有數學版，這問題放在那裡更適當。

假設選的號碼（此例的 2,3,5,7,11,13）是固定的。

T = Z1+...+Z6, Zi 是從 1~49 隨機選出的，E[Zi] = (1+49)/2 = 25
所以 E[T] = E[Z1]+...+E[Z6] = 25*6 = 150
Zi 之間有相關，但這不影響期望值，只影響 T 的變異數計算。

X = 6 即 {Z1,...,Z6}={2,3,5,7,11,13}, 所以 E[T|X=6] = 2+...+13 = 41

X = 0 即 Z1,...,Z6 只能從已定的６個號碼之外選，
　　所以 E[Zi|X=0] = (1+4+6+...+49)/431 = [49(49+1)/2-41]/43 = 1184/43 = 27.53
    所以 E[T|X=0] = 27.53*6 = 165.2

Ｘ 是其他值時，如 X=2，表示在 2,3,5,7,11 中取兩個號，在其他 43
個號中取 4 個號。
前者各種情形平均（對各種可能組合之平均）號碼和是 2(41/6)，
後者號碼和平均是 4(1184/43)，故 E[T|X=2] = 82/6 + 4736/43 = 123.9

通式 E[T|X=x] = x(41/6)+(6-x)(1184/43)

E[T|X=x] 隨 x 而變，所以 T 與 X 不獨立。

X 的分布可以算出，然後依定義式可計算 E[X], E[X^2] 及 Var[X].
事實上 X 服從超幾何分布，P[X=x] = C(6,x)C(43,6-x)/C(49,6)

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推 Jerrychiang: 謝謝您，學到很多！
→ rnoro: T=Z1+...+Z6，這裡的Zi似乎是取後放回跟題目不太一樣？
→ rnoro: 只有E[Z1]=25，E[Z2]實際上是25*48/49
→ rnoro: 獨立部分的論證也不太完整，隨機變量的獨立與否要計算
→ rnoro: joint-distribution，不完全是靠誰跟著誰變來決定
※ 編輯: yhliu (114.41.125.24 臺灣), 12/14/2022 11:27:33
→ rnoro: 你還是沒算對啊。。。
→ rnoro: 取後不放回，Z這樣寫就包含Z=1+1+1+1+1+1的情況，跟題意
→ rnoro: 不合吧？