[問題] 馬丁格爾法的機率問題

[birdjack (啾啾啾)]

簡單講一下馬丁格爾法

就是假設在一個勝率50%的壓大小的賭局中，

每輸一次就加倍前一次的下注，贏了就重置回1個籌碼

這樣本金如果切成(2^n)-1就可以玩n次，


問題是想要求在N個賽局中遇到連輸n次的機率
(也等於 1 - N個賽局從沒遇過連續輸n次的機率  )


網路上大概找了一下得到的公式如下:
1 - [ 1 - (0.5)^n ] x [ 1 - 0.5 x (0.5)^n ]^(N-n)

但是簡單套入N=6,n=5就錯了


我是想這個問題應該等同在N個有序位置排黑白球的問題

求的就是N個位置至少有一組連續相鄰n個白球的機率
(或是說 1 - N個位置中沒半組相連n個白球的機率)

而當N-n=1(即黑球個數<=1)的時候這個問題應該蠻簡單的，N>=2時答案都是3

1顆黑球→2種可能  (放第一或放最後)

0顆黑球→1種可能  (全部白球)

我都是用這個來驗證公式最快。



那麼我自己有導出一個遞迴式如下:

P(N,n)是在總共N個賽局中遇到至少一組n個相連白球的機率

其中還分三種情形:

P(N,n)=0 | N < n

P(N,n)=(0.5)^n | N = n

P(N,n)=(1/2)^n+for(i=0,i<n,i++){(1/2)^(n-i)*P(N-n+i,n)}  | N > n

圖:
https://imgur.com/7bH7b4u.jpg


基本上這個我有轉成matlab去跑程式，數字小是能跑，太大就爆了

目前也都跟自己自幹的答案一樣

想問有沒有誰能把這個遞迴改成通式?

嘗試過在code那邊用迭代法修改，不過對我來說難度太高

如果有誰給能出通式，並且驗證過後我會給他稅後3000P當酬勞(?)

如果n設為6~10之類的定值，以此為出發給出通式則是1000P

先謝謝大神了

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Prob_Solve/M.1679026710.A.022.html
→ Chikei: 用馬可夫鍊算，n+1個狀態對應0~連輸n次，from/to就是單純
→ Chikei: 的i->i+1是0.5，i->0也是0.5，迭代N次就有機率了
謝謝您給我方向，我再去摸索摸索

→ yhliu: 感覺那遞迴式怪怪的：n=1時，P(N,1)=1/2+1/2 P(N,1)?
您可能漏看了

代入n=1時應該是 P(N,1)= 1/2 + 1/2 P(N-1,1)

●→ 1/2
+
○●→ 1/2*1/2
+
○○●→ 1/2*1/2*1/2
+
○○○●→ 1/2*1/2*1/2*1/2
+
...

→ yhliu: 應是 P(N,n)=1/2^n+sum(k=1~n)(1/2^k)P(N-k,n)
※ 編輯: birdjack (123.195.46.211 臺灣), 03/19/2023 14:39:50
推 seanwu: 你只是需要dynamic programming而已，不需要通式