Re: [統計] 盤面最大combo數的出現統計

[c910335 (達人)]

原文恕刪

<<前言>>
以下皆為高中數學
然而我自認為數學能力不算出眾
如有誤請指出不要炮我QAQ

讓我們用數學分析三色陣的Combo數
目標是算出每種最大Combo數發生之機率
為此必須要先得知每種盤面的Combo數及開出其之機率


<<Combo數>>
這個實在是想不到100%正確的算法
我所使用的算法是將每屬珠的數量除以三再加總
但是若有一屬數量超過19
那麼就以下列方式計
20~22: 5
23   : 4
24   : 3
我目前無法證明這樣的算法是正確的
希望能有人舉出反例 <(_ _)>

以下舉幾個計算Combo數的例子
(24,  3,  3)  => 3 + 1 + 1 = 5Combo
(10, 10, 10)  => 3 + 3 + 3 = 9Combo
(20,  6,  4)  => 5 + 2 + 1 = 8Combo
(13,  9,  8)  => 4 + 3 + 2 = 9Combo


<<單一盤面機率>>
令一盤面珠子數量為(a, b, c) //其中a b c >= 3, 且 a + b + c = 30
那麼三色陣開出這種盤面的機率為
(1/3)^30 * 30! / a! / b! / c! / Valid_Board_Probability
//其中Valid_Board_Probability為三色陣每屬皆開出三顆以上之機率

讓我慢慢解釋這個公式是如何求得的
先以簡單的擲硬幣作為例子

擲兩次硬幣 皆開出正面的機率是1/4
因為擲出正面的機率是1/2
皆兩次正面的就是(1/2) * (1/2) = 1/4
由此推廣到PAD三色陣就是(1/3)^30

那麼擲兩次硬幣 而開出一正一反的機率？
擲出正面機率是1/2 擲出反面機率是1/2 正反就是1/4
但是一正一反會有"正反"與"反正"二種情形
必須再乘上排列數
所以機率是(1/2) * (1/2) * 2 = 1/2
由此推廣到PAD三色陣就是(1/3)^30 * 30! / a! / b! / c!

再來擲三次硬幣 在至少開出一正的條件下 開出恰好一反的條件機率？
正正反機率是(1/2)^3 算上三種排列是(1/2)^3 * 3
但是這裡要求至少一正的條件下
而至少一正的機率是所有情形扣掉全反 1 - (1/2)^3 = 7/8
所以條件機率是(1/2)^3 * 3 / (7/8) = 3/7
由此推廣到PAD三色陣就是
(1/3)^30 * 30! / a! / b! / c! / Valid_Board_Probability

那麼Valid_Board_Probability到底是什麼？
由於三色陣保證每屬至少三顆
所以我們想要知道的機率是每屬至少開出三顆的條件下之條件機率
因此需要先算出Valid_Board_Probability
可以使用(1/3)^30 * 30! / a! / b! / c!
將所有合法盤面代入並加總機率
可得Valid_Board_Probability約為 0.9980482534542854
所以實際上公式為 (1/3)^30 * 30! / a! / b! / c! / 0.9980482534542854

不知道這樣解釋能不能理解？

以下舉幾個例子
(10, 10, 10): 0.02701355838113663
(24,  3,  3): 5.779133453214403 * 10^(-8)
(17,  7,  6): 0.001000090602345659

<<結論>>
將所有可行盤面代入公式計算盤面
並依照Combo數加總其機率
可得以下結果

5Combo:        13650 / 78731526739 = 1.733740035964324  * 10^(-7)
6Combo:       163800 / 78731526739 = 2.0804880431571887 * 10^(-6)
7Combo:     14071239 / 78731526739 = 1.787243253474183  * 10^(-4)
8Combo:   8737170195 / 78731526739 = 0.11097422540736791
9Combo:  61218244745 / 78731526739 = 0.7775569365997735
10Combo:  8761863110 / 78731526739 = 0.11128785980546435
期望值: 708579745088 / 78731526739 = 8.999949250787258 (Thanks Yamamoto!)


<<後話>>
以上皆為高中數學
然而我自認為數學能力不算出眾
如有誤請指出不要炮我QAQ
若是造成遊戲內的損失 本人一概不負責

打完了好累...

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   ╳ キ ╳     ╳ ズ ╳     ╳ ラ ╳     ╳ ン ╳     ╳ ダ ╳     ╳ ム ╳
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.115.50.29
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/PuzzleDragon/M.1433334753.A.938.html
推 TerryTam: 快推 不要讓人知道我看不懂(誤)
推 FayeOwO: 直接END了，懶得幫你看到底有沒有算錯XDDDD
推 acer5738G: 快推 不要讓人知道我看得懂(誤)
→ Andruw0819: 我數學程度是國中  QQ
推 TerryTam: 沒看完 不過粗略看一下好像沒忽略相同色三顆連一起的盤
→ TerryTam: 面 回去再認真看
推 a123444556: 先推，我想花一些時間看(好懶
→ Amewakahiko: 這是高中數學? 我應該高中沒畢業
→ jouhouya: 高中沒錯吧？就機率阿
推 TerryTam: 如果是開七星陣 就會有三顆同色相連一串的情況
→ TerryTam: 沒看清楚一開始在說三色陣   上面推文無視吧
推 trollfrank: (」・ω・)」召喚！(／・ω・)／Demon！
推 cct1121:  (」・ω・)」召喚！(／・ω・)／Demon！
→ feedingdream: 我沒看懂combo例子那，24, 3, 3要怎麼做成5combo？
                 http://goo.gl/vqijLG
推 MoonKiWi: (」・ω・)」召喚！(／・ω・)／Demon！
※ 編輯: c910335 (140.115.202.188), 06/03/2015 20:53:57
→ feedingdream: 了解，thx。
推 lazcat:  (」・ω・)」召喚！(／・ω・)／Demon！
推 deity1006: 趕快推不然別人以為我看不懂
推 horseorange: 攻城師會直接跟你說 開軟體跑一千萬次
推 romron: 24可以4combo吧
推 yorunosora: 其實開軟體跑省腦多了沒錯...
推 abx310492: 最近剛學過.......不過完全不想動XD
→ MoonKiWi: 看不懂,求添增END結論QAQ 是指3色陣期望值有8C趨近9C嗎?
             沒錯！Thanks Yamamoto!
※ 編輯: c910335 (140.115.202.188), 06/03/2015 21:12:02
推 yorunosora: 沒錯 趨近9cy
→ yorunosora: 樓樓樓樓上R大，我找了我的疊珠表沒有看到24-3-3 有Y
→ yorunosora: 4-1-1疊法的耶  跪求分享QQ
推 mega222: 招喚Demon桑，召喚綠jk
→ yuyubear: 為什麼END還是沒看懂到底...
             就是說開三色陣平均能轉出 8.999949250787258 Combo
※ 編輯: c910335 (140.115.202.188), 06/03/2015 21:39:21
推 zxcvbnmzxcv: 理論跟實驗結果一樣,給推
→ zxcvbnmzxcv: 可是結論可以加個9c以上的機率是多少
→ zxcvbnmzxcv: 畢竟期望值這個數字對覺暗埃玩家比較沒意義
                9C以上的機率就是9C機率加上10C機率
                0.888844796405238
※ 編輯: c910335 (140.115.202.188), 06/04/2015 02:41:18
推 irene160: 打這麼多 推一個
推 b12341425: 認真推，不過個人認為應該可以不用這麼多有效位數
              打出如此多位數才能表現出與模擬程式精準度上的差別
※ 編輯: c910335 (140.115.202.188), 06/05/2015 02:22:33