Re: [問題] 數學問題

[Hormes (Hormes)]

※ 引述《kiclee840101 (pt2pt2pt2)》之銘言：
: 今天寫到一題題目
: 有一個選項是說 A B為二階方陣
: 若AB=I 則 (BA)^2 = (B^2) x (A^2)
: 這個選項是對的
: 他的詳解是寫說:B^2xA^2=BBAA 因為AB=I 所以BA=I ==>BBAA=BA=I=(BA)^2
: 但是為什麼呢?AB=I 不代表BA=I阿 那這個結論是如何推出的呢?
: 求解QQ

(i)AB=I→A and B are invertible

證明:AB=I→AB可逆→L(AB)可逆→L(AB)一對一且映成→L(A)L(B)一對一且映成
     →L(A)映成且L(B)一對一 (這一步再證明會越扯越遠...)
     因L(A)和L(B)皆為F^n→F^n，即兩向量空間維度相等，
     則L(A)映成和L(B)一對一可推得L(A)和L(B)皆可逆→A和B可逆


(ii)B=A^-1

證明:AB=In，等式左右同乘A^-1
     (A^-1)(AB)=(A^-1)(I) → (A^-1A)B=A^-1 →IB=A^-1 → B=A^-1
     同理可證A=B^-1，既然B=A^-1，則由定義可知AB=BA=In

以上小弟亂證一通，如有錯誤請各位鞭小力點。

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推 yorro: 嗨
→ ruj9vul3: 你都要證可逆了 你還直接用結論
AB=In → A和B可逆 → AB互為反矩陣 邏輯上沒有錯吧 我證的是第二個箭頭
→ paulpork: 其實他只是在證AB=In則A=B^-1而已
→ paulpork: 一開始說的證明可以PO出來沒關係，有點好奇XD
※ 編輯: Hormes (49.219.184.169), 05/02/2015 19:53:05
※ 編輯: Hormes (49.219.184.169), 05/02/2015 20:04:45
推 ruj9vul3: SOR 不清楚你是證這個
已補上證明(雖然還是有沒證的地方...)
※ 編輯: Hormes (1.163.180.234), 05/03/2015 00:56:16