Re: [問題] 關於排列組合

[LeonYo (僕は美味しいです)]

小弟不揣駑鈍，課本是排列組合放在第四冊的年代
謹分享一下過去的學習經驗


老實說, tom 的兩大題型

※ 引述《tomedc14 (betteryoung)》之銘言：
: 附兩大題型for example:
: http://i.imgur.com/7jNWY9W.jpg
: http://i.imgur.com/baw0e1M.jpg

在我當學生的年代，從來就沒有把它們整理的這麼詳細
如果你問，○○題和△△題有什麼不一樣？
我會以為，你在問我太陽和鉛筆有什麼不一樣...
我根本就看不出來他們「有什麼地方一樣」？

當學生時也許在這章節不費吹灰之力，拿高分很爽
等到我開始當家教，這就是我頭痛的地方了
學生的式子一寫出來，
我就知道會重複多算，而且能馬上舉個例子給他看
也能知道會缺漏少算，馬上告訴他有什麼情形沒算到

但，到底為什麼我知道？
這個問題我想了好久，大概想了二、三年
後來我才發現，原來當我看完題目後
答案的「樹狀圖」已經在我腦海裡了...
所以我可以很自然的寫下算式

請問各位看倌，如果給你一幅樹狀圖
你能不能很快的看出規律並列出式子算算一共有幾枝？
如果可以，那你的排列組合一定有辦法學的好
（基本上看到樹狀圖會算，就表示你懂乘法原理和加法原理了）
你只要解決「樹狀圖長什麼樣子」就好了

Step 1. 讀懂題目的意思，搞懂最後排出來「結果的長相」是什麼

Step 2. 排列通常有好幾個流程，決定好「可以排出結果」的流程

　      這裡是最常錯的地方，

　　　　要知道「不同的流程」只能對應一種「不同的結果」

        後文會舉例說明

Step 3. 依照不同的現象作「分類」（Step 3. 和 2. 先後可能顛倒）

Step 4. 上面都作到，心裡面應該能浮現出一幅樹狀圖了

        此時依加法原理和乘法原理列式算出即可


我這裡應該只是在闡發 wayn大的 1.2.3. 和 diego大的 2.


這邊試著作一下 tom 的兩大題型



將 6 種不同的果汁倒入 3 個茶杯中，每杯限倒 1 種，且不能有空杯，試問：
(1)杯子不同，每種果汁不限倒一次
(2)杯子不同，每種果汁限倒一次
(3)杯子相同，每種果汁不限倒一次
(4)杯子相同，每種果汁限倒一次


在這裡，我要先問一下第零題：
(0) 將 6 種不同的果汁，倒入 6 個不同的杯子中
　　每杯限倒一種，且不能有空杯，請問有幾種？

這種候可能很多人會不屑的說，不就是 6! 種
這麼蠢的題目你以為我們不會嗎？

但我想問的是，這 6! 是怎麼來的？
大家其實都知道，但我想要闡明的清楚些
因為這對於理解原PO的問題是有幫助的

設果汁有 a, b, c, d, e, f 共 6 種
  茶杯有 x, y, z, u, v, w 共 6 種

小明說：我要先倒 a, 有 6 個杯子可以選
            再倒 b, 剩 5 個杯子可以選
            再倒 c, 剩 4 個杯子可以選
            再倒 d, 剩 3 個杯子可以選
            再倒 f, 剩 2 個杯子可以選
            再倒 e, 剩 1 個杯子沒得選，所以答案是 6!

（有沒有發現 a, b, c, d, e, f 的順序不重要？因為這是基本題）
（在某些變化題，你要決定先倒什麼是重要的）

小華說：我要先裝滿 x, 有 6 種果汁可以選
            再裝滿 y, 有 5 種果汁可以選
            ...
          最後裝滿 u, 剩 1 種果汁沒得選，所以答案是 6!

（有沒有發現，小明和小華的「方向」剛好相反，答案卻相同，因為這是基本題）
（在所謂「二大題型」的「基本變化題」中，你一定要決定一個好的方向）

我先解第二小題：
(2)杯子不同，每種果汁限倒一次 (共 6 種不同果汁，3 個杯子)

[Sol]: 首先，你要先決定，
　　　 像小明拿起果汁去倒，還是像小華拿起茶杯來裝

　　   我們先看看小明的作法
　　 （設果汁有 a, b, c, d, e, f, 茶杯有 x, y, z）

       他拿起 a 果汁後，有 3 個杯子可以選
         拿起 b 果汁後，剩 2 個杯子可以選
　　　　 拿起 c 果汁後，剩 1 個杯子沒得選，所以答案是 3!

　　　 錯！錯！錯！錯得一蹋糊塗，錯在哪裡？
　　　 錯在他拿起 a 果汁後，除了倒 3 個杯子外，他還可以放回去！
　　   為什麼？因為杯子只有 3 個，後面還有 5 種果汁可以倒！

　　　 這裡的樹狀圖就要分岔了，
　　   如果 a 果汁倒進某個杯子，那 b 果汁只剩 2 個杯子和不倒共「3」種選擇
       如果 a 果汁選擇不倒，那 b 果汁就有 3 個杯子和不倒共「4」種選擇

　　　 依此類推，你會發現這個樹狀圖很複雜...
　　　 你問我心裡面有沒有把這個樹狀圖畫出來？
　　　 答案是「沒有」，因為一般來說
       心智正常且智商普通的人是不會作這種事的．．．

       再來看看小華的作法吧，
　　　 他拿起 x 杯，有 6 種果汁供他選擇
       再拿起 y 杯，有 5 種果汁還可以用
       再拿起 z 杯，剩 4 種果汁可以選，所以是 6*5*4 = 120

       認真的同學舉手了：
       老師那到底是要用 P 還 C 還 H ？
       是 P 6 取 3 對不對？

　　　 師曰：同學對不起，老師真的聽不懂你的問題，
　　　 你聽懂老師怎麼「看待」這個問題了嗎？　

　　　 另外我主張，並且強調，小明的方法大家一定要懂！
　　　 要懂小明的方法「有多麼的難用！」這樣你自然就不會用


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文長有空待續，
剛斷線害小弟沒賺到批幣，
帶小孩打預防針先

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