[討論] 106學測 單選7 排列組合 詳解

[LeonYo (僕は美味しいです)]

由於多數同學對排列組合感到困擾，我想試著寫些詳解，
讓同學抓到一些解決排列組合問題的想法與脈絡，隨手選
了 106學測單選7 來寫詳解，這題即使是高分群（前33%）
也只有 40%的答對率，從選項分析來看錯答選項幾乎平均
分配，感覺就像是隨機猜答似的，因此這題對整體考生而
言絕對不算是簡單的題目。以下附上題目及我寫的詳解，
想知道這樣的寫法對於不擅長排列組合的同學有無幫助，
歡迎給予各種指教，謝謝。



【106學測單選7】
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的
餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。
小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52  (2) 60  (3) 68  (4) 76  (5) 84



【解答】
這是星期一到星期五的計畫，我們可以在紙上畫個簡表
┌────────────────────┐
│   一      二      三      四      五   │
│                                        │

讀完（甲）條件，我們要知道兩件事情：
第一、有五個「不同」的日子，而且每一個不同的日子「
      要剛好選一樣」餐點，所以這是排列問題。
第二、因為只有四種餐點，而且每種至少要點一次，所以
      必然有一種餐點會重複，此時我們知道會有四種可
      能的分類。

讀完（乙）條件，要知道這題目有兩個「反面限制」：
第一、連續兩天餐點不能重複，用排列的角度來看，其實
　　　就是「相同物不能相鄰」。
第二、不連續兩天吃麵食，用排列的角度來看，也是「某
　　　些物不能相鄰」的條件。

一般來說，如果只有「一組」不相鄰的反面限制，可以用
插入法解決就好；如果有「兩組以上」不相鄰反面限制，
用「取捨原理」處理會好一些。但「取捨原理」對大部分
的同學來說是不容易理解也不容易想到的方法，以下我們
先用「窮舉討論」的方法來處理這兩個反面限制，再使用
取捨原理處理一次。



我們先從條件（甲）開始討論起，有四種重複的可能：
牛牛大咖排、牛大大咖排、牛大咖咖排、牛大咖排排。
因為中文書寫較為麻煩，考試時同學應該適時地轉化為符
號表示，以下我們用 aabxy, abbxy, abxxy, abxyy 作為
討論。為何要用 ab 和 xy 而不用 abcd 呢？同學在看完
條件（乙）後，要能夠知道題目對於「麵」和「飯」的處
理方式是不一樣的，因此我們用 ab 和 xy 差異較大的符
號來作分類，較符合直覺的感受，比起排列 abcd 更能夠
直覺地感受到題目對飯與麵的差別對待。

先排列 aabxy，因為題目要求麵不能重複，aab 勢必要完
全分開，因為只有 5 個位置，所以排列方式必然為

 a_a_b

的形式，其中 aab  的排列可能為 aab、aba、baa 有 3 種
排法，而空格可以填 xy 和 yx 有 2 種排法，所以共有 6
種排法。再排 abbxy，道理和 aabxy 相同，所以也有 6 種排法。



接著排 abxxy，由題意可知 ab 不能相鄰 xx 也不能相鄰，
看起來是很麻煩的條件，很多同學不知如何是好，可能就對
著題目發呆或跳過了，事實上，同學一定要「動筆寫出來試
試看」才有機會解出題目，我們就先把 ab 不相鄰的所有可
能列出來吧：

 a _ b _ _
 a _ _ b _
 a _ _ _ b
 _ a _ b _
 _ a _ _ b
 _ _ a _ b

因為只有 5 個位置，所以就算全部列出來，也不是很困難的
事情。但要注意，以上列的是 a 前 b 後的情形，還有 b 前
 a 後的情形別忘了。列出來後，我們插入 xxy，只要注意
 xx 不相鄰就好了。因為剩下來的工作已經很少，我們只要
依序看著列出來的 6 種情形，插入 xxy 各有幾種排列方式
就好，沒有必要再把 xxy 的所有可能寫出來。

 a _ b _ _ 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法；
 a _ _ b _ 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法；
 a _ _ _ b 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 1 種方法；
 _ a _ b _ 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 3 種方法；
 _ a _ _ b 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法；
 _ _ a _ b 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法。

由以上討論可知共有 12 種方法，但別忘了，還有 b 前 a
後的情形，所以 abxxy 符合題意的排列一共有 24 種。同
樣的道理， abxyy 也會有 24 種。綜合以上討論，我們就
有 6+6+24+24=60 種不同的方法。

以上的方法是「根據題目的條件，一步一步慢慢達成題目
的要求」，因此我們分了好幾個步驟來處理，其實這才是
排列組合最重要的精神。大部分的題目，只要「分成適當
的步驟」就能解決了，背了很多題型和公式卻不知如何運
用，反而拿不到分數。

排列 abxxy 時，有兩個反面限制，ab 不相鄰且 xx 不相
鄰，能力較強的同學可以考慮使用取捨原理，也就是：

 （ab 不相鄰且 xx 不相鄰）的方法數
= 所有的方法數 -（ab 相鄰）的方法數
               -（xx 相鄰）的方法數
               +（ab 相鄰且 xy 相鄰）的方法數

再分別把上式的各種方法數求出來就好。

所有的方法數 = 5!/2! = 60
即abxxy 不盡相異物的排列

ab 相鄰的方法數 = (4!/2!)2!= 24
即 (ab)xxy 排列：先外部排 ()xxy 再內部排 (ab)

xx 相鄰的方法數 = 4!= 24
即 ab(xx)y 排列：先外部排 ab()y 再內部排 (xx)

ab 相鄰且 xx 相鄰的方法數 = 3!2! = 12
即 (ab)[xx]y 排列：先外部排 ()[]y 再內部排 (ab) 和 [xx]

因此 abxxy 共有 60 - 24 -24 +12 = 24 種排列方法

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→ wastedoor   : 乾你媽大滷麵
噓 Timekeeper  : 崩潰怒噓這題
※ 編輯: LeonYo (210.71.78.244), 08/08/2017 12:44:45
→ jjjj19971122: 為什麼覺得好複雜...
推 ZNDL        : 我記得我好像窮舉
噓 lzlzzzzzz   : 崩潰噓 指考完還是不會
推 HFang       : 這題好難QQ
推 JimmyRod    : 最後幾秒才寫出來..還好有對
→ globejoy    : ....這樣寫學生也不會比較好懂 不是字多就好懂
推 chinjennyi6 : 這題不會+1 算的數字還是錯的
噓 MickeyMike  : 拉幾題
推 mark10133   : 重點是,考試當下想的出來就好，考完寫這個其實沒什
→ mark10133   : 麼用
噓 edward8726  : 爛題目
推 cpx117110   : 不會 爽猜對
→ LeonYo      : 寫這個是要給想把排列組合學好的同學看的
→ LeonYo      : 不是要給考完試或已經很強的人看的~
→ lovehan     : 24種的話還是可以硬幹一個一個排的   (誤)
→ LeonYo      : 所以才請問大家這樣寫有沒有什麼地方要改進?
推 aikotoba    : 這題考試不會算 當下窮舉應該花不到10分鐘
推 lovehan     : 補個推
推 jack91303   : 昨天才寫到 推個
噓 unry156     : 怒噓排列組合
推 Usaria      : 補血 雖然我當初也錯這題QQ
推 hgvf        : 忘了寫啥
→ hgvf        : 反正都猜的
推 protonck    : 觀察前面沒有的選項 爽猜對一波
噓 allen0193012: 看不懂噓
噓 forgive     : 純噓爛題目 卡好久然號爆炸
推 pilot4835e43: 這真的題爛題目
推 ez51218     : 這題那時猜對耶 幫推
噓 ty0809      : 對的改成錯的怒噓
噓 sakaki      : 幹 這題
噓 beatboxa0710: 幹那題我錯
噓 brosucks    : 這題超難
噓 beatboxa0710: 我那時候忘記某兩個不能相臨
推 iclaire     : 這詳解快可以寫一個高中小論文了XD
推 littli      : 這題三分鐘內一條算式解決 嘻嘻
噓 mitoDNA     : 噓....掉到14
噓 william3112 : 幹幹幹幹幹幹幹幹
→ winter3036  : 我個人覺得從詳解的角度來說這樣不會比較好，但教學
→ winter3036  : 上這樣解釋是可以的，我的話會很單純分成麵重複插空
→ winter3036  : 位，飯重複取捨原理這樣，主要是如果每題詳解都長這
→ winter3036  : 樣也不會有人想認真看完(吧)
終於有比較願意給予指教的討論出現了 orz 感恩
篇幅過長的確是個問題，現在學生對於「文字」好像都有點排斥
因為我是希望能夠在課堂以外的時間讓學生能夠自主吸收點東西
大概抓到排列組合在幹嘛，而不是背了一堆題型公式，考試一樣掛在那裡
如果這不可行，大概只能想辦法在課堂上建立起他們的解題思路及流程了
推 canucksteve : 你講太多了@@
→ canucksteve : 飯麵飯麵飯（麵-2，飯-6 2*6），麵飯麵飯麵 如前 共
→ canucksteve : 24
的確是太多...
※ 編輯: LeonYo (210.71.78.244), 08/09/2017 10:15:56
推 jakert123   : 考試當下要答對真不簡單
推 winter3036  : 我覺得最大的問題不是哪種版本的解答比較簡單..事實
噓 jay1234524o : 牛肉麵大滷麵咖哩飯排骨飯
→ winter3036  : 上想法正確用H也可以解這題..問題在怎麼想到這些東
→ winter3036  : 西吧
推 samuel880831: 爽猜對啦
噓 jimmy811007 : 操你的這題