噓 cze71210 : 有排組我就噓 08/10 17:14
推 conq : 推啦，感謝詳解 08/10 18:24
推 forest1538 : 推推 08/10 20:38
推 emonal : 推推 05/24 04:08
原文在下面要看自己看
這邊重貼一下題目讓不知道在幹嘛的人進入狀況
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│小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的 │
│ │
│餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。 │
│ │
│小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐： │
│ │
│（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次 │
│ │
│（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食 │
│ │
│根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？ │
│ │
│（１）５２ （２）６０ （３）６８ （４）７６ （５）８４ │
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思路：因為(乙)條件不能連續吃麵，所以飯麵要分開看
要想是三飯兩麵還是三麵兩飯
這邊給還沒畢業的同學一個方向，大考排列組合就是在考討論
段考很喜歡一槍斃命一個式子或公式寫出答案，完全不是大考的方向
所以臨場決定要討論三飯兩麵還是三麵兩飯時就表示自己有可能方向正確了
接著大部分的同學覺得 三飯二麵 比 三麵二飯 還要好討論
因為麵的條件比較多.......
一般來講是，但其實這題選項答案很小阿，都沒破百，意思就是說，
限制條件太多，導致能放的情況太少
三麵二飯：C(2,1)*(3!/2!)*2!=12
二麵三飯：這一個情況難在，兩麵不相鄰、兩飯不相鄰
是兩個都不相鄰的情形，一般來說：「相鄰先綁、不相鄰最後插」
這裡不能先插兩麵再插兩飯，因為這樣就是兩飯最後插，但兩麵不是
也不能先插兩飯再插兩麵，因為這樣就是兩麵最後插，但兩飯不是
所謂「最後」就是只能一個，所以記得，插空隙只能插一組
原PO這裡使用排榕原理，小弟我在高中剛畢業時也很愛用
但我發現一般應屆高中生對於排容的掌握度很差...極差...
再加上有分析過大考考題就會知道
大考 從來 沒有 考過 只能 用排容來做 的題目
以前那種，5對夫婦配對全錯的情況有44種阿
都 不 會 考
所以這邊用排容其實有點難以令人接受
當然可以當作是大考中心出題的新趨勢
但在明年、後年學測題還沒出來以前，我就先用一個不用排容的方式來解兩組不相鄰的題目
二麵三飯：
這邊先讓兩麵不相鄰(先做兩飯也可以)
是C(2,1)*(3!/2!)*C(4,2)*2!=72 (先排三飯二同一異再讓麵插進去)
但是這裡有一些情況我們不需要，就是
兩同飯相鄰的狀況，但要注意我算出的72種裡面全部都是兩麵不相鄰
所以72要扣掉的狀況實際上是「兩飯相鄰且兩麵不相鄰」的狀況
所以就是 72 要扣掉 C(2,1)*2!*C(3,2)*2! = 72-24 =48
因此兩種CASE相加 = 48 + 12 = 60
謝謝大家。
※ 引述《LeonYo (僕は美味しいです)》之銘言：
: 由於多數同學對排列組合感到困擾，我想試著寫些詳解，
: 讓同學抓到一些解決排列組合問題的想法與脈絡，隨手選
: 了 106學測單選7 來寫詳解，這題即使是高分群（前33%）
: 也只有 40%的答對率，從選項分析來看錯答選項幾乎平均
: 分配，感覺就像是隨機猜答似的，因此這題對整體考生而
: 言絕對不算是簡單的題目。以下附上題目及我寫的詳解，
: 想知道這樣的寫法對於不擅長排列組合的同學有無幫助，
: 歡迎給予各種指教，謝謝。
: 【106學測單選7】
: 小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的
: 餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。
: 小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
: （甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
: （乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
: 根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
: (1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84
: 【解答】
: 這是星期一到星期五的計畫，我們可以在紙上畫個簡表
: ┌────────────────────┐
: │ 一 二 三 四 五 │
: │ │
: 讀完（甲）條件，我們要知道兩件事情：
: 第一、有五個「不同」的日子，而且每一個不同的日子「
: 要剛好選一樣」餐點，所以這是排列問題。
: 第二、因為只有四種餐點，而且每種至少要點一次，所以
: 必然有一種餐點會重複，此時我們知道會有四種可
: 能的分類。
: 讀完（乙）條件，要知道這題目有兩個「反面限制」：
: 第一、連續兩天餐點不能重複，用排列的角度來看，其實
: 就是「相同物不能相鄰」。
: 第二、不連續兩天吃麵食，用排列的角度來看，也是「某
: 些物不能相鄰」的條件。
: 一般來說，如果只有「一組」不相鄰的反面限制，可以用
: 插入法解決就好；如果有「兩組以上」不相鄰反面限制，
: 用「取捨原理」處理會好一些。但「取捨原理」對大部分
: 的同學來說是不容易理解也不容易想到的方法，以下我們
: 先用「窮舉討論」的方法來處理這兩個反面限制，再使用
: 取捨原理處理一次。
: 我們先從條件（甲）開始討論起，有四種重複的可能：
: 牛牛大咖排、牛大大咖排、牛大咖咖排、牛大咖排排。
: 因為中文書寫較為麻煩，考試時同學應該適時地轉化為符
: 號表示，以下我們用 aabxy, abbxy, abxxy, abxyy 作為
: 討論。為何要用 ab 和 xy 而不用 abcd 呢？同學在看完
: 條件（乙）後，要能夠知道題目對於「麵」和「飯」的處
: 理方式是不一樣的，因此我們用 ab 和 xy 差異較大的符
: 號來作分類，較符合直覺的感受，比起排列 abcd 更能夠
: 直覺地感受到題目對飯與麵的差別對待。
: 先排列 aabxy，因為題目要求麵不能重複，aab 勢必要完
: 全分開，因為只有 5 個位置，所以排列方式必然為
: a_a_b
: 的形式，其中 aab 的排列可能為 aab、aba、baa 有 3 種
: 排法，而空格可以填 xy 和 yx 有 2 種排法，所以共有 6
: 種排法。再排 abbxy，道理和 aabxy 相同，所以也有 6 種排法。
: 接著排 abxxy，由題意可知 ab 不能相鄰 xx 也不能相鄰，
: 看起來是很麻煩的條件，很多同學不知如何是好，可能就對
: 著題目發呆或跳過了，事實上，同學一定要「動筆寫出來試
: 試看」才有機會解出題目，我們就先把 ab 不相鄰的所有可
: 能列出來吧：
: a _ b _ _
: a _ _ b _
: a _ _ _ b
: _ a _ b _
: _ a _ _ b
: _ _ a _ b
: 因為只有 5 個位置，所以就算全部列出來，也不是很困難的
: 事情。但要注意，以上列的是 a 前 b 後的情形，還有 b 前
: a 後的情形別忘了。列出來後，我們插入 xxy，只要注意
: xx 不相鄰就好了。因為剩下來的工作已經很少，我們只要
: 依序看著列出來的 6 種情形，插入 xxy 各有幾種排列方式
: 就好，沒有必要再把 xxy 的所有可能寫出來。
: a _ b _ _ 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法；
: a _ _ b _ 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法；
: a _ _ _ b 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 1 種方法；
: _ a _ b _ 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 3 種方法；
: _ a _ _ b 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法；
: _ _ a _ b 插入 xxy 且 xx 不相鄰有 2 種方法。
: 由以上討論可知共有 12 種方法，但別忘了，還有 b 前 a
: 後的情形，所以 abxxy 符合題意的排列一共有 24 種。同
: 樣的道理， abxyy 也會有 24 種。綜合以上討論，我們就
: 有 6+6+24+24=60 種不同的方法。
: 以上的方法是「根據題目的條件，一步一步慢慢達成題目
: 的要求」，因此我們分了好幾個步驟來處理，其實這才是
: 排列組合最重要的精神。大部分的題目，只要「分成適當
: 的步驟」就能解決了，背了很多題型和公式卻不知如何運
: 用，反而拿不到分數。
: 排列 abxxy 時，有兩個反面限制，ab 不相鄰且 xx 不相
: 鄰，能力較強的同學可以考慮使用取捨原理，也就是：
: （ab 不相鄰且 xx 不相鄰）的方法數
: = 所有的方法數 -（ab 相鄰）的方法數
: -（xx 相鄰）的方法數
: +（ab 相鄰且 xy 相鄰）的方法數
: 再分別把上式的各種方法數求出來就好。
: 所有的方法數 = 5!/2! = 60
: 即abxxy 不盡相異物的排列
: ab 相鄰的方法數 = (4!/2!)2!= 24
: 即 (ab)xxy 排列：先外部排 ()xxy 再內部排 (ab)
: xx 相鄰的方法數 = 4!= 24
: 即 ab(xx)y 排列：先外部排 ab()y 再內部排 (xx)
: ab 相鄰且 xx 相鄰的方法數 = 3!2! = 12
: 即 (ab)[xx]y 排列：先外部排 ()[]y 再內部排 (ab) 和 [xx]
: 因此 abxxy 共有 60 - 24 -24 +12 = 24 種排列方法
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