※ 引述《yahoo168 (努力就會有騷貨)》之銘言：
: https://i.imgur.com/TjZP4Gr.jpg
: 中國的題目 好像列在基本題
: 我是覺得難到爆==
: 看詳解老半天才會算
: 好奇板上有神人解的出來嗎
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: Sent from JPTT on my iPad
提供一個general的做法:
架一個座標, 以a的方向為+x軸. 此時a=(1,0), b=(1/2,sqrt(7)/2).
令c=(x,y), 所求即為sqrt(x^2+y^2)的範圍.
將(a-c)(b-c)=0以分量展開可得:
(x-1,y)(x-1/2,y-sqrt(7)/2)=0,
x^2-3/2x+1/2+y^2-sqrt(7)/2y=0,
x^2+y^2=3/2x+sqrt(7)/2y-1/2.
由柯西不等式可知:
(x^2+y^2)[(3/2)^2+(sqrt(7)/2)^2]>=(3/2x+sqrt(7)/2y)^2=(x^2+y^2+1/2)^2
這是一個x^2+y^2的二次不等式. 化簡可得:
(x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2)+1/4<=0.
解不等式可得:
3/2-sqrt(2)<=x^2+y^2<=3/2+sqrt(2).
全部開平方就是所求的範圍. 雙重根號化簡可得:
1-sqrt(2)/2<=sqrt(x^2+y^2)<=1+sqrt(2)/2.
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