[問題] 合成函數的餘式定理

[gpp3203 (閔小喵)]

https://i.imgur.com/sa9CH9j.png

解答為E
詳解算法是f(f(2)) = 11，但是我沒有辦法使用課本的餘式定理證明這個算法是對的。
希望各位可以貼出證明過程或是其他算法，謝謝！

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推 jason90814: 合成函數也是一個函數g(x)啊，課本解法可以用吧
推 tonyookk: f(2)=3，g(2)=f(f(2))=f(3)=11
→ gpp3203: https://i.imgur.com/fN62Bhh.jpg
→ gpp3203: 原題被我爆開來長這樣，但是我不太清楚為何餘式定理可以
→ gpp3203: 直接套用在合成函數上
→ gpp3203: 也就是我想求這個一般化的公式：
→ gpp3203: https://i.imgur.com/AWlMWHL.jpg
推 lemonade2243: 你這不是ax-b的餘式是af-b的餘式誒
→ gpp3203: 可是由上式帶入這樣沒有問題吧（？）
→ gpp3203: 我的想法是把所有f(x) 帶入並提出(ax-b) 的因式
→ gpp3203: 剩下就是餘數了
→ lemonade2243: 你當然可以把g寫成那樣，但這是無意義的列示，因為
→ lemonade2243: 你要找的是ax-b的餘式
→ gpp3203: 但如果不用f(x)的餘式表示，如何求出f(f(x))之餘式？
推 lemonade2243: 一樣寫成g(x)=(x-2)*q(x)+r,r不就是g(2)啊
→ njru81l: 1樓寫得很清楚啊，看一樓就夠午
→ gpp3203: 剛剛再看了一下發現自己繞了一大圈@@ 謝謝各位！
推 kbccb01: 令f(x)=(x-2)q(x)+r
→ kbccb01: 1.令g(x)=(x-2)p(x)+s
→ kbccb01: 2.它又=f(f(x))=f((x-2)q(x)+r)
→ kbccb01: 1.2.各代入2,得s=f(r)