Re: [問題] 單邊柴比雪夫不等式的證明

[matroshka (俄羅斯哇哇)]

感覺你的證明有點複雜, 提供一個較簡單的
首先令Y = X–μ,  c,k > 0

P(Y ≧ kσ) = P(Y + c ≧ kσ+ c) ≦ P[(Y + c)^2 ≧ (kσ+ c)^2]
           ≦ E(Y+c)^2 / (kσ+ c)^2  by Markov's ineq.
            = (σ^2+c^2) / (kσ+ c)^2

特別地令 c =σ/k 即得證:
P(Y ≧ kσ) ≦ (σ^2 + c^2) / (kσ+ c)^2
            = (1 + 1/k^2 ) / [k^2(1 + 1/k^2)^2]
            = 1 /(1+ k^2 )



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※ 編輯: matroshka (61.60.127.16), 06/26/2015 10:59:25
推 examuser: 謝謝!同理Y=μ-X帶入,即可得P(Y≦-kσ)≦1/(1+k^2)