[問題] 樣本變異數之抽樣分配推導

[Dminor (低小調)]

書上寫說樣本變異數S^2之抽樣分配在μ未知的請況下，

            iid
X1,X2,...,Xn~~~N(μ,σ^2)
      _   
Σ(Xi-X)^2
---------- ~χ^2(n-1)
  σ^2    

書上有附證明。

不過我自己想了一個方法，不知道哪邊出錯了。
               _
Xi~N(μ,σ^2)  X~N(μ,σ^2/n)
   _
Xi-X~N(0,σ^2(1+1/n))
     _                                   _
 (Xi-X)-0                            (Xi-X-0)^2
----------- ~N(0,1) (標準化)    則， ----------- ~χ^2(1)
σ√(1+1/n)                          σ^2(1+1/n)

                _
          Σ(Xi-X)^2
得到：    ------------ ~χ^2(n) (卡方可加)
          σ^2(1+1/n)

可是和書上寫得：
      _   
Σ(Xi-X)^2
---------- ~χ^2(n-1)         似乎有段差距……
  σ^2

想請大家幫我看一下我的作法哪邊出錯了，感恩~~

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→ celestialgod: (Xi-X-0/σ√(1+1/n) 不是標準常態
→ celestialgod: Xi-X bar的變異數就算錯了
→ celestialgod: Xi跟X bar不獨立
→ Dminor: 感謝~~
→ yhliu: 應說是 諸 Xi-Xbar 相互不獨立.