→ expiate: 阿？刪文了...我不是故意要備份的 10/12 21:31
※ 引述《nculeo (力歐)》之銘言：
: 如果是跟統計軟體有關請重發文章，使用程式做為分類。
: 請詳述問題內容，以利板友幫忙解答，過短文章依板規處置，請注意。
: 為避免版面混亂，請勿手動置底問題，擅用E做檔案編輯
: 愚笨的小弟最近遇到了問題如下:
: Q:若X與Y為獨立同分布之隨機變數，請證明E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)=1/2(X+Y)
: 不知道有無神人能以站內信協助證明呢?
用Jacobian座標轉換可以先證明第一個等式
f()為分布的pdf
Z1 = X + Y
Z2 = X
f(Z1,Z2) = f(Z2)*f(Z1-Z2)
f(Z1) = ∫f(Z1,Z2)*dZ2
f(X|X+Y) = f(Z2|Z1)
再利用上面的Jacobian座標轉換，只是 Z2 = Y而已
也可以得到f(Y|X+Y) = f(Z2|Z1)
你可以看出他們的pdf形式都是一樣
因為X與Y皆是同分佈的隨機變數，所以取期望值之後的積分形式也是一樣。
第二個等式我直覺是利用第一個等式，故
E(X|X+Y) + E(Y|X+Y) = E(X+Y|X+Y) = X + Y
又E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)，所以
E(X|X+Y) = E(Y|X+Y) = (X+Y)/2
有錯不吝指教
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與怪物戰鬥的人，應當小心自己不要成為怪物。
當你遠遠凝視深淵時，深淵也在凝視你。
弗里德里希·威廉·尼采
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