→ kerwinhui: 直接在十個教授上做permutation… 04/05 20:26
這是我想到的唯一方法，不知道有沒有更好的方法QQ，等高人了XDDD
→ kerwinhui: 答案有誤：K<10不然原PO說過沒有面試官上不了榜 04/05 20:28
K < 10是我忘記補上了，反正我結論是K = 0~9都一樣，謝謝指正。
※ 編輯: celestialgod (180.218.152.118), 04/05/2016 20:39:53
※ 引述《empireisme (empireisme)》之銘言：
: 妳今天要參加研究所面試，已知該所共有十個教授，又已知其中有三個教授必定讓你上榜
: ，七個必讓你落榜
: 又面試的教授被選中的機率均為十分之一
: 又你在大學部有十次修課的機會，如果修了A教授的課，那麼A教授就會回避面試
: 選到每一個教授的課機率都是十分之一
: 試問妳應該修幾科，才能使妳面試上榜的機率最大
: 除了暴力破解，畫樹狀圖，不知道該怎辦qq
我想了三天XDD，一開始以為是可以重複選到同一個教授的課，所以卡了很久
最後原PO說不會重複，那麼這題就簡單了，我把我的解法列出來：
假設你修K堂課，那麼你上榜的機率就是 (後面修K堂的condition就先省略)：
min(3,K)
P(上榜|修K堂課) = Σ P(抽到會上榜的教授 & 你修過i堂會上榜教授的課)
i=0
min(3,K)
= Σ P(你修過i堂會上教授的課) x
i=0
P( 抽到會上榜的教授 | 你修過i堂會上榜教授的課)
先試試看舉出K=1跟K=2的情況，如果K=1：
P(抽到會上榜的教授 & 你修過0堂會上榜教授的課)
= P(你修過0堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過0堂會上榜教授的課)
= 0.7 * 3/9 = 7/30
P(抽到會上榜的教授 & 你修過1堂會上榜教授的課)
= P(你修過1堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過1堂會上榜教授的課)
= 0.3 * 2/9 = 1/15
所以K=1時，會上榜的機率是 7/30 + 1/15 = 9/30 = 0.3
我們再看一下K=2的情況：
P(抽到會上榜的教授 & 你修過0堂會上榜教授的課)
= P(你修過0堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過0堂會上榜教授的課)
= (7/10 * 6/9) * 3/8 = 7/40
P(抽到會上榜的教授 & 你修過1堂會上榜教授的課)
= P(你修過1堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過1堂會上榜教授的課)
= (7/10 * 3/9 + 3/10 * 7/9) * 2/8 = 7/60
P(抽到會上榜的教授 & 你修過2堂會上榜教授的課)
= P(你修過2堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過2堂會上榜教授的課)
= (3/10 * 2/9) * 1/8 = 1/120
所以K=2時，會上榜的機率是 7/40 + 7/60 + 1/120 = 36/120 = 3/10 = 0.3
最後，根據K=1跟K=2的情況，如果能夠看出一些端倪，就可以把式子列出來了
因為會上榜的教授只有三個，所以你最多只需要考慮四種情況
分別是修到0堂、1堂、2堂、3堂會上榜教授的課
這時候令X為選到會上榜教授的堂數，很明顯地
X是總合次數為10，成功總次數為3，失敗總次數為7的超幾何分配隨機變數
3CX * 7C(K-X)
另外，X取的個數則為K，其pmf, f(X) 可以寫成 ------------------
10CK
所以可以把上面機率寫成下面這樣：
min(3,K)
P(上榜|修K堂課) = Σ P(你修過i堂會上教授的課 | 修K堂課) x
i=0
P( 抽到會上榜的教授 | 你修過i堂會上榜教授的課 & 修K堂課)
min(3,K)
= Σ P(X = i | 修K堂課) * (3-i) / (10-K)
i=0
min(3,K) 3Ci * 7C(K-i)
= Σ -------------------- * (3-i) / (10-K)
i=0 10CK
3C0 * 7CK 3C1 * 7C(K-1)
= ------------- * 3/(10-K) + ----------------- * 2/(10-K)
10CK 10CK
3C2 * 7C(K-2)
+ ------------------ * 1/(10-K) * I(K >= 2)
10CK
(I(˙)為指標函數，其argument為TRUE，則為1，否則為0)
3 * 7CK + 6 * 7C(K-1) + 3 * 7C(K-2) * I(K>= 2)
= -----------------------------------------------------
10CK * (10-K)
Note: i=3，上榜機率為0，所以就沒列了
Note: 修0堂課上榜機率就自然是0.3了，這個應該滿trivial
根據帕斯卡公式： nCr = (n-1)Cr + (n-1)C(r-1)
K >= 2的情況下，分子部分可以這樣化減：：
3 * 7CK + 6 * 7C(K-1) + 3 * 7C(K-2)
= 3 * (7CK + 7C(K-1)) + 3 * (7C(K-1) + 7C(K-2))
= 3 * 8CK + 3 * 8C(K-1) = 3 * 9CK
而分母可以化成：
10CK * (10-K) = 10 / (10-K) * 9CK * (10-K) = 10 * 9CK
所以K>=2的情況下，P(上榜|修K堂課) = 0.3
至於K = 1就帶入就好，0.7 * 3/9 + 0.3 * 2/9 = 0.3 (其實就是上面列舉)
因此，你不管修幾堂課(0~9堂課)，上榜機率都相同。
PS: 這題沒有想通隨機變數那裏也是可以解，不過可能要花點精神才列的出來式子
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