[問題] 分辨Gaussian Process

[Glamsight (安穩殘憶)]

各位先進好

在此我想請問關於如何檢測一個Process是Gaussian Process

根據Capasso的An Introduction to Continuous-Time Stochastic
Process[1]，一個Gaussian Process的定義如下

Definition Gaussian Process
A real-Valued stochastic process (Omage,F,P,(X(t))_{t \in R+})
is called a Gussian process if, for all n \in \mathbb{N}^* and
for all (t1,...,tn) \in (R+)^n, the n-dimensional random vector
X=(X(t1),...,X(tn))^T has a multivariate Gaussian distribution,
with probability desity
                            1
f(x;t1,...,tn) = ------------------------*
                 (2pi)^(n/2)*sqrt(det(K))
                     { ( 1 )                     }
                 *exp{-(---)*(x-m)^T*K^(-1)*(x-m)}
                     { ( 2 )                     },
where
               { mi  = E[X(ti)] \in \mathbb R,       i=1,...,n,
               { Kij = Cov[X(ti),X(tj)] \in \mathbb{R},
               {                                     i=1,...,n.

由此看來，一個Gaussian Process應該是可以看成一個random vector
X=(X1,...,Xn)^T，然後Xi分別是服從某個Gaussian Process
N(mui,sigmai)，其中(mui,sigmai)可以是與另一個(muj,sigmaj)有所不同
。

然後我的問題就來了，根據我所知關於Gaussian的檢定是檢定一個random
variable是不是Gaussian (Normal)的是Kolmogorov-Smirnov test。它似乎
只能在一維度時使用。
(如果恰好(mui,sigmai)=(muj,sigmaj)對於所有的(i,j)，好像也能使用？)

由於查閱的書籍似乎都是在討論已經是在Gaussian Process時會有甚麼性質
，而沒有說究竟該如何檢測它。便在此想請問各位先進，一般是如何去檢測
一個Process是Gaussian Process的呢？

謝謝

References
[1] Capasso, V, & Baskstein, D. (2010). An Intoduction to
    Continuous-Time Stochastic Processes (2nd ed.). New
    York: Springer.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.243.205.37
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※ 編輯: Glamsight (111.243.205.37), 08/07/2016 15:04:12
→ kangoroo: test整個process的實務上好像沒見過(?) 我也蠻想知道的
→ kangoroo: 還是說有什麼相關性質可以保証不用檢測 之類的
→ yhliu: 一個 Gaussian process 並非是一個 n-dimensional r.v.,
→ yhliu: 定義是說它的任意有限 n 點都是 n-dim. Gaussian(normal)
→ yhliu: distributional random vector. 因此, 是不可能做完整檢定
→ yhliu: 的. 要嘛, 就是檢查其構成條件, 再根據不同的 process 檢查
→ yhliu: 其是否符合有隈點分布條件.
請問"有隈點分布條件"指的是什麼？第一次見到這個名詞。
→ LiamIssac: 試試看Kolmogorov continuity theorem
→ LiamIssac: 還有kolmogorov extension theorem
第一次聽到該定理，我研究看看，謝謝！！
※ 編輯: Glamsight (36.229.232.94), 08/10/2016 21:34:12
→ yhliu: 通常一個隋機過程不管是 continuous time 或 discrete time
→ yhliu: 的, 都是無限點, 也就是無限維的. 因此要看其機率分布, 只
→ yhliu: 能取有限個點, 例如一個無限的時間序列只取有限個時點, 看
→ yhliu: 這些時點之表現(隨機變數)的聯合分布, 正式稱呼是
→ yhliu:  finite-dimensional distribution. 根據定義, 一個
→ yhliu: Gaussian process 就是其任意 f.-d. distribution 都是
→ yhliu: multi-variate Gaussian. 所以如果要從分布特性去檢定是否
→ yhliu: 為 Gaussian process, 還要根據 prpcess 的特性, 取 n 組各
→ yhliu: k 個時間點, 得到 n 組獨立同分布的 k-dim. 隨機向量的觀測
→ yhliu: 值, 檢定它們是否為來自 k-dim. Gaussian 的隨機樣本.
→ yhliu: 例如要檢定是否為 Brownian motion, 可以取等距 n+1 個
→ yhliu: 時點, 得觀測值 Y(i),i=0,1,2...,n; 再取 X(i)=Y(i+1)-Y(i)
→ yhliu: 再用檢定單變量常態的方法檢定 X(i), i=1,2,...,n 是否構成
→ yhliu: 來自一單變量常態群體的一個簡單隨機樣本. 做一個檢定不夠,
→ yhliu: 至少還需要取不同間距的時間點, 再做這樣的檢定.
→ yhliu: Brownian motion 可以說是除了 white noise 以外最簡單的
→ yhliu: Gaussian process 了, 所以能有這麼簡單的檢定方式, 其他
→ yhliu: process, 有可能甚至找不出檢定 f.-d. distribution 的方法
→ yhliu: 所以檢測一個 process 是否為某一特定 process, 最好還是
→ yhliu: 從該 process 的構成特性來檢測.
非常感謝您的回覆！我想再請問一下已經有了一些連續時點的樣本，在給定信心水準下，
這個(n,k)該如何選擇，並對應哪一種的 Test ，不知道是否有相關的教科書可以閱讀？
謝謝！！
※ 編輯: Glamsight (140.113.250.43), 08/18/2016 13:52:33