[問題] 以幾何分佈來分析寶可夢用球數

[Proxima668 (比鄰星)]

我有一個關於使用幾何分佈來分析寶可夢遊戲的問題。首先描述一下背景資料:

當一個玩家扔一顆球來抓怪時，成功捕捉率是一個固定的數字p。如果怪沒有被球抓住，那麼
它逃跑的機率是f。如果怪沒有逃脫，玩家可以再次丟球，每次扔球都是獨立的事件。假
設玩家繼續丟球，直到怪被抓住或逃跑，要計算的是玩家在遇到怪時，預期的用球數。

我將在下面介紹我的推導，但是我的結果與知名網站Gamepress不同，所以我想確認正確
的式子。

有兩個狀況分開討論: 當玩家成功抓住怪，或最終怪逃跑。

成功捕捉到怪的機率是:

p +（1-p）（1-f）p + [（1-p）（1-f）]^2 f + ...
= pΣ[（1-p）（1-f）]^(×-1), x: 1..infinity
= p/[1-（1-p)（1-f)]
= p / (p+f-pf)

怪最終逃跑的機率是:

（1-p）f +（1-p)（1-f）（1-p）f +（1-p）[（1-f）（1-p）]^2 f + ...
=（1-p）fΣ[（1-p)（1-f）^(x-1)]  x:1..infinity
=（1-p）f/[1-（1-p)（1-f)]
= (1-p)f / (p+f-pf)

在怪被捕獲的條件下，用球數的期望值是:

pΣ[×（1-p）（1-f）]^(x-1), x:1..infinity
= p(d/dZ)ΣZ^x，Z =（1-p)（1-f）
= p(d/dZ)[Z/(1-Z)]
= p/(1-Z)^2
= p/(p+f-pf)^2

怪最終逃走的情況下用球數的期望值是:

 f(1-p)Σ[×（1-p）（1-f）]^(x-1), x:1..infinity
= f(1-p)(d/dZ)ΣZ^x，Z =（1-p)（1-f）
= f(1-p)(d/dZ)[Z/(1-Z)]
= f(1-p)/(1-Z)^2
= f(1-p)/(p+f-pf)^2

因此，用球數期望值為: 成功捕獲怪的機率x在怪被捕獲的條件下的用球數期望值+怪逃脫
的機率x怪逃跑時的用球數期望值：

p/(p+f-fp) x p / (p+f-fp)^2 + (1-f)p/(p+f-fp) x f(1-p)/(p+f-fp)^2
= (p^2+f^2(1-p)^2)/(p+f-fp)^3

Gamepress並未提供他們所使用的式子（https://pokemongo.gamepress.gg/catchcalc#/
），但他們似乎使用與此處所述相同的公式：

https://www.reddit.com/r/TheSilphRoad/comments/59w7cj/analysis_pok%C3%A9mon_go_catch_calculator_new_tool_to/

該篇文章所使用的式子是:

1/(p+f-fp)

剛好也是:

p/(p+f-fp) + f(1-p)/(p+f-fp)

所以我的問題是，那一個是正確的，為什麼？謝謝！



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推 TOOYA: 其實你無法知道抓到 逃跑 繼續丟是p f 1-p-f
→ TOOYA: 還是抓到 沒抓到是p 1-p 逃跑 沒逃跑f 1-f
推 TOOYA: 依你的算式 你覺得是後者 那如果同時是抓到且逃跑，機率是p
→ TOOYA: *f，那麼最後判定到底是抓到還是逃跑？