[問題] 信賴區間 Coverage Rate 想法

[hexjacal (黑麻糬)]

小弟最近在回顧統計學信賴區間
進行了些許模擬驗證，腦筋卡住了有部份疑問想請益

假設 population~N(0, 1), 對 mu CI 作推論

A. Percentile Bootstrap method
  1. 從 N(0,1) 生成母體樣本 X
  2. 從 X 重覆抽樣生成 B 個複式樣本 BX
  3. 計算多個 sample mean
  4. 取 0.025, 0.975 百分位數作為 mu 的 CI
重覆 1~4 多次，Coverage Rate 大約為宣稱的 95%

B. 此方法若如果從母體來進行
  1. 從 N(0,1) 生成 B個 母體樣本 X
  2. 計算多個 sample mean
  3. 取 0.025, 0.975 百分位數作為 mu 的 CI
重覆 1~3 多次，Coverage Rate --> 100%

B 方法的 Coverage Rate 從理論上也合理
在 iid 的前提下，每個 sample mean 正負機會各一半
若「多個」sample mean 取百分位數後，作出來的 CI 都>0

P(CI_{L}>0)=1-P(CI_{L}<=0)
=1-P(至少有 0.025*B 個<=0)
=1-pbinom(0.025*B,B,0.5) --> 1

疑惑的是
1. A、B方法最大的差異性在哪?
2. 若要透過 B 方法來建構 CI，它需要作什麼修改?
在無母數下
如果要對某個參數 theta 作 CI
且可以模擬多個 theta^{hat} 的觀察值
是否有 percentile 或是可能的 formula 可以得到 theta 的近似 CI?

可能是我弄錯了什麼才會在這漩渦裡頭繞，還望版上高手指點，感謝。

2018/04/02 ===================================
感謝 r 大的回應~
小弟疑惑的地方在於
A 方法的模擬結果，以「樣本」重覆抽樣計算 sample mean
Coverage rate 真的是 90~95% 左右

但 B 方法，以「母體」重覆抽樣計算 sample mean
同樣是以百分位數的方式作 CI
重覆多次作出來的 CI 範圍均值
會很接近 population mean 95% CI 的數學推論結果
但其 Coverage Rate，卻會接近 100%，而不是宣稱的 95% 上下
為什麼?

bootstrap 精神在於對樣本重覆抽樣，可望重現母體的隨機分佈樣貌
那為何直接以母體重覆抽樣，卻會得到 100% coverage rate 的結果?

2018/04/03 ===================================
感謝 y 大的回應
我獲益良多，我想我要補足部份在於
A(B) 方法以百分位數的方式
1. 取出來的都是 sample mean distribution 的 "涵蓋區間"
2. 它在 population mean 的 "信賴區間" 上提供了什麼資訊
目前還缺少最重要 1-->2 的「數學推論」來說服自己
我會繼續找尋答案的，萬分感謝。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.136.19.199
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Statistics/M.1522600495.A.D17.html
推 recorriendo: A只有一組樣本 然後"把樣本當母體"去抽更多樣本 這是
→ recorriendo: bootstrap的基本精神 為什麼這樣做可以就要去看boots
→ recorriendo: trap理論的書  bootstrap一般用在現實世界中取得的資
→ recorriendo: 料 母體分布未知的情況
→ recorriendo: 最後的問題 不知道你所謂吳母樹在這裡什麼意思  不過
→ recorriendo: 反正基本精神就是可以生成一堆theta模擬值就可以用
→ recorriendo: percentile估計CI 至於生成方法bootstrap或其他都可
※ 編輯: hexjacal (140.113.132.180), 04/02/2018 09:39:39
→ yhliu: B 所得到的是 sample mean 抽樣分布的中間95%區間, 這當然
→ yhliu: 應包含群體的 mean, 除非只模擬很少次.
→ yhliu: A 是以原來一組樣本當群冊去抽樣, 所以最後得到的是這個被
→ yhliu: 當做群體之樣本的 bootstrap 樣本平均數分布的中間95%的區
→ yhliu: 間,它幾乎必然包含原樣本的平均數, 卻也不是原群體平均數的
→ yhliu: 信賴區間.
→ yhliu: Bootstrap 的基本原理是 bootstrap樣本推估原樣本, 而原樣
→ yhliu: 本"像" 群體, 所以推估這個樣本也就間接推估了群體.
→ yhliu: 所以a的區間雖不是真正原群體平均數的95%信賴區間, 但雖不
→ yhliu: 中, 不遠矣, 想一想由原樣本平均數建構群體平均數的方法就
→ yhliu: 知道了.
→ yhliu: 修正: A 泓所得區間當作原群體平均數之倌賴區間亦可.
※ 編輯: hexjacal (140.113.132.180), 04/03/2018 11:36:01
推 recorriendo: B求出來的就是point estimate的分佈而已 理當會照
→ recorriendo: 中央極限定理分布 夠多point est的話涵蓋母體值機率
→ recorriendo: 趨近於1   A每一個樣本導出來的區間不一定涵蓋母體值
→ recorriendo: 但假設有100組樣本 對每組"這樣做"以後有約95會涵蓋
→ recorriendo: 所以A才符合CI的定義  CI本就是針對"把每組樣本這樣
→ recorriendo: 做"以後會發生什麼事來定義的 注意你的B已經不是在單
→ recorriendo: 一樣本裏操作了