Re: [問題] 機率問題

[KirinGuess (Kirin)]

※ 引述《GodCsy (翹屁)》之銘言：
: consider an urn that initially contains one red ball and one black ball.
: At each time n=1,2…,a ball is drawn, and it and another two balls of the
: same color are placed back into the urn.Thus,after n draws the urn contains
: 2n+2 balls. LetYn be the number of balck in the urn after n draws and
                                     black
: let Xn=Yn/(2n+2)
: Prove the identity E(Xn+1|Xn=x)=x ,n=1,2…

我先假定這裡的Xn+1是指X_(n+1),而不是(X_n)+1.
為避免混淆,以下用{}表示下標,
例如 X{n}   表示 X_n,
同理,X{n+1} 表示 X_(n+1), 以此類推.

: 板上大大
: 這題的pdf f(Xn+1|Xn=x) 我不太清楚要怎麼求
: 麻煩指點一下了
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首先,當Y{n}=y時,Y{n+1}只會有y或y+2兩種可能性.
其中Y{n+1}=y  表示在第n+1抽時抽到紅球,
  而Y{n+1}=y+2表示在第n+1抽時抽到黑球.

其次,
f(X{n+1}=(y  )/[2(n+1)+2] | X{n}=x) =P(Y{n+1}=y  |Y{n}=y)
f(X{n+1}=(y+2)/[2(n+1)+2] | X{n}=x) =P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y)

所以題目要證明的期望值可以展開成為:
E(X{n+1}|X{n}=x) =y  /[2(n+1)+2] *P(Y{n+1}=y  |Y{n}=y) +
                  y+2/[2(n+1)+2] *P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y)

接著,Y{n}=y是指在第n抽後,甕裡共有2n+2顆球,其中有y顆是黑球,
所以在第n+1抽時抽到紅球的機率是[(2n+2)-y]/(2n+2).
同理在第n+1抽時抽到黑球的機率是[       y]/(2n+2).

也就是說,P(Y{n+1}=y  |Y{n}=y) =[(2n+2)-y]/(2n+2),
         P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) =        y /(2n+2).

把這兩個條件機率代回前述的期望值式子裡,
代換整理一下就會得到題目要證明的:
E(X{n+1}|X{n}=x) =Y{n}/(2n+2) =x.


以上.
希望沒有錯.

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推 GodCsy: 感謝大大 這方法看懂了
推 hegemony005: 醒醒