[問題] 當p.d.f.中有絕對值時期望值的算法?

[AmigoSafin ()]

大家好

想請教目前有一p.d.f.是Exponential分配

f_x(x)=1/(2*\theta)exp{-1/(\theta|x|)}, \theta>0


Exponential 分配的期望值是\theta

如果p.d.f.沒有絕對值


請問這題求X的期望值

我覺得是1/2 \theta


我實際計算的方式是分段

算出當x>=0時 期望值為\theta/2
x<0 也是期望值為\theta/2

而現在我的問題變成當我要算變異數

我算出兩個E[X^2] 一個是在x >=0時 E[X^2]=\theta^2

所以此時V[X]=(3/4)\theta^2

另一個E[X^2]為(-\theta^2) 當x<0時

用此計算V[X]=(-5/4)\theta^2

因為\theta>0

且V[X]不能為負

所以我認為此題V[X]=(3/4)\theta^2


請問各位高手 這樣推論可以嗎>"<

感謝大家！！






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※ 編輯: AmigoSafin (129.21.71.49), 11/27/2018 03:55:13
→ gogostay: 用定積分算期望值,E(X)=積分(x*p.d.f),下限=0,上限=無窮
→ gogostay: 大。之後再用變數變換拆絕對值,如此,應該就算出來了。
→ Pieteacher: 分區域算
→ AmigoSafin: 謝謝～～
→ yhliu: p.d.f. 有 |x|, 那麼 x 的範圍應是 -∞ < x < ∞.
→ coastq22889: 期望值就算錯了吧 這看起來是對稱分佈阿
→ coastq22889: 雖然有點看不懂你的式子 不過應該是double exponent
→ coastq22889: ial吧
→ AmigoSafin: 我是分成x>=0時 p.d.f.直接拆掉絕對值算一次
→ AmigoSafin: x<0時 p.d.f.拆掉絕對值 加上-值 因為p.d.f.要>0
→ AmigoSafin: 然後x>=0的 用[0,infty)去積分 第二個x<0 用(-infty,0
→ AmigoSafin: 去積分 得到第一個是2/\theta, 第二個是-2/\theta
→ AmigoSafin: 兩者相加等於0 我知道答案是0 因為維基百科就有
→ AmigoSafin: 但不確定我這樣算對嗎>"<