推 andrew43: 讚讚。沒想到歸納法。 10/13 18:00
→ celestialgod: 高中的方法還是很好用的XD 10/13 18:14
※ 引述《getsimple (getsimple)》之銘言：
: 大家好
: 我有一題想了很久真的不太知道怎麼做，又找不到人討論，求求各位大神救救我....
: 我本來看到這題想說y會服從ber(p=1/2)，然後x會服從二項，但突然又看到2^（-k)，如
: 果直接加入的話好像就不能用二項去算了（？）因為這樣的話機率總和不等於1...
: 拜託大家指點～
: 感謝大家，感謝統計版
: https://i.imgur.com/WlcVTxe.jpg
1. 先觀察看看
n=1, X_n的值域是0 or 1/2, 機率都是1/2
n=2, X_n的值域是0, 1/4, 1/2, 3/4, 機率都是1/4
n=3, X_n的值域是0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 機率都是1/8
2. 從觀察來看，我們可以假設P(X_n = x) = 2^(-n)成立
P(X_(n+1) = x) = P(X_n = x) * P(Y_(n+1) = 0) +
P(X_n = x - 2^(-n-1)) * P(Y_(n+1) = 1)
到這就有點卡住了，先探討值域
因為X_n = sum_k 2^(-k) *Y_k, k = 1, ..., n
=> X_n的可能範圍是從 {0, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n} 取0~n個做和
=> 所以X_n的個數為 nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn = (1+1)^n = 2^n
(帕斯卡三角形第n+1列)
從值域來看X_n並不可能包含 2^(-n-1)
因此，P(X_n = x - 2^(-n-1)) = 0，所以P(X_(n+1) = x) = 2^(-n-1)
所以根據數學歸納法，P(X_n = x) = 1/2^(-n) 是成立
3. 驗證
x的值域為2^n個，每一個機率為1/2^n => sum_i P(X_n = x_i) = 1 => 是pmf沒錯
我不確定有沒有比較好的做法，這是我想到的作法....
cdf我就沒想到要怎麼做了Orz
所以第二題我就沒辦法了Orz
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R資料整理套件系列文：
magrittr #1LhSWhpH (R_Language) https://goo.gl/72l1m9
data.table #1LhW7Tvj (R_Language) https://goo.gl/PZa6Ue
dplyr(上.下) #1LhpJCfB,#1Lhw8b-s (R_Language) https://goo.gl/I5xX9b
tidyr #1Liqls1R (R_Language) https://goo.gl/i7yzAz
pipeR #1NXESRm5 (R_Language) https://goo.gl/zRUISx
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※ 編輯: celestialgod (119.14.59.166 臺灣), 10/13/2019 17:48:42
※ 編輯: celestialgod (119.14.59.166 臺灣), 10/13/2019 17:53:35