[問題] n-th mgf of Binomial distribution

[lin810221 (LiNz)]

如標題，怎樣可以證明n階動差的二項分配

https://imgur.com/a/HJ1TV7f

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→ Pieteacher: 利用階差動差 E(X(X-1))
→ lin810221: 我嘗試過 E(X(X-1)...(X+k-1))，可是這邊就有點卡住
→ Pieteacher:  https://i.imgur.com/imwN3yT.jpg
→ Pieteacher: 好像直接算就好了
推 cuylerLin: 本來以為條件機率算會比較快，結果只算到這樣XD
→ cuylerLin: E(X^k)=(1-p)*E(Y^k)+p*E[(1+Y)^k]
→ cuylerLin: 應該還是直接展開整理最快
→ yhliu: E[X(X-1)...(X-k+1)] =Σx(x-1)...(x-k+1)C(n,x)p^xq^(n-x)
→ yhliu:   = n(n-1)...(n-k+1)ΣC(n-k,x-k)p^xq^(n-x)
→ yhliu:   = n(n-1)...(n-k+1)p^k
→ yhliu: 由階乘動差→原點動差→中心動差.