[問題] AR 衝擊反應函數理論設定

[wwwh0225 (SeaWave)]

大家好，小弟最近在自學時間序列，我看到不只一本計量課本有說衝擊反應函數（IRF) 會設定 e_{t+j}=0

https://i.imgur.com/lABBrb2.jpeg

但是 IRF 不就是偏微分的概念嗎，如果 AR 模型誤差項 ～ iid WN(0, var)
那麼對 e_{t} 的偏微分不會直接使得 e_{t+j} 被微不見變成0

那為什麼還要加這個設定呢？ 有點想不透背後的直觀想法。
希望有人可以一起討論，謝謝！
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 150.117.53.120 (臺灣)
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→ yhliu: e_{t} 是誤差項？隨機的，而且對不同 t 是 i.i.d., 怎麼微?
我是直接當不同變數去思考，比如對y微分，看到x項就直接是0
※ 編輯: wwwh0225 (150.117.53.120 臺灣), 07/04/2024 08:45:44
→ yhliu: 不同 t 之間的 e_t 是相互獨立的隨機變數，不是 t 的函數。
→ yhliu: 隨機變數本身就是個函數不說，以其實現值(觀測值)串在一起
→ yhliu: 有一個名詞稱樣本路徑(sample path)，當做 t 的函數，也是
→ yhliu: 不可微分的。形象一點地說，這 sample path 就像一堆亂跳的
→ yhliu: 亂數，不是平滑函數，不可能做微分。
→ saltlake: 好像聽說財務數學那邊有對隨機變數的微機分?
→ saltlake: random walk? 醉步問題的樣子?
→ yhliu: 隨機微積分，和一般的微積分有些不同。
→ yhliu: 首先需有 ∫_a^t φ(s) dw(s) 的定義，
→ yhliu: 其中 w(s) 並不像 Stieltjes 積分要求那樣變異有界。
→ yhliu: 其次，如果 X(t) = X(a) + ∫_a^t φ(s) dw(s),
→ yhliu: 就可以說 dX(t) = φ(t) dw(t), 但此式其實是前列積分式
→ yhliu: 的另一表示形式，本身沒有自己獨特的意義，也就是說不具
→ yhliu: 微分的意義。典型的隨機微積分式是對 Brownian Motion 的
→ yhliu: 積分，所謂 Ito^ 積分。BM 是一個隨機過程 B(t), 其任何
→ yhliu: 不相重疊區段的增量均相互獨立，如同 Poisson 過程，只是
→ yhliu: B(t) 服從 N(μt, σ^2 t) 而不像 Poisson 過程 N(t) 服從
→ yhliu: Poisson(λt)。依 Ito^ 積分, ∫_a^b dB(t) = B(b)-B(a)
→ yhliu: 即 B(t) 在 [a,b] 的增量，b > a。注意 B(t) 本身不是相互
→ yhliu: 獨立的，其屬於不相重疊區段的增量才是。在時間數列中，
→ yhliu: 誤差項 e(t) 若是相互獨立，可說是白噪音，沒有所謂「微分
→ yhliu: 一般 e(t) 也可能是移動平均模型，由（有限項）白噪音的加
→ yhliu: 權和構成，最後仍歸結至白噪音。但白噪音算是基本元素了，
→ yhliu: 再不會有微分。Ito^ 積分的 dB(t) 非正式地說也就是白噪音
→ yhliu: 過程 (i.i.d. normal),如果把積分區段分割為相等的 n 小段,
→ yhliu: 每段長度 Δ, 則 ∫_a^b X(t) dB(t) 可以近似地表示為
→ yhliu: Σ_i X_i e_i, e_i 就是 B(t) 在第 i 小段的增量，X_i 是
→ yhliu: X(t) 在第 i 小段的代表值。