Re: [閒聊] 開黃泉後盤面五屬珠都>=3顆的機率

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 大家好(‧^ω^‧)
: 剛剛狂日大大問了個 TOS-MATH 問題如題
: 正常關卡(非禁珠)下開黃泉洗珠，每一屬(不含心)都≧3顆的機率是？

答案：0.544634557955
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原本認為手算就算捏爛LP也算不出來

不過在今天早上先捏一下下後，發現其實很多項可以couple在一起(‧^ω^‧)

接著再藉由計算網頁就得到許多網友跑程式的結果了

【問題】

假設全版洗盤後版面是平均分布六色珠(含自消盤面)，那五屬性各至少3顆以上機率是？

【答案】

分母 = 全部盤面 = 6^30 = 221073919720733357899776

分子 = 五屬性各至少3顆

     = 全部盤面 - 至少有一屬≦2顆

     = 221073919720733357899776 - 100669423178347649484640

     = 120404496542385708415136

機率 = 分子/分母 = 0.544634557955

【證明】

令 S為所有盤面所成的集合
   #(any set) := 此集合的元素個素

令 A  為水珠≦2顆的盤面所成的集合
   A_1為水珠＝2顆的盤面所成的集合
   A_2為水珠＝1顆的盤面所成的集合
   A_3為水珠＝0顆的盤面所成的集合

則 A=A_1∪A_2∪A_3, 且三者互斥(兩兩交集為空集合)

同樣的令出 B(火), C(木), D(光), E(暗)

因此我們所求的"五屬珠至少有一屬≦2顆"

其實就是 #(A∪B∪C∪D∪E)

之後根據排容原理

  #(A∪B∪C∪D∪E)

= Σ#(單一集合) - Σ#(兩兩交集) + Σ#(三三交集) - Σ#(四四交集) + Σ#(全交集)

接著觀察到A,B,C,D,E是對稱的

因此每個Σ內只要算一次，之後乘上交集可能方法數即可，具體如下：

(1) Σ#(單一集合) = C(5,1) * #(A)

(2) Σ#(兩兩交集) = C(5,2) * #(A∩B)

(3) Σ#(三三交集) = C(5,3) * #(A∩B∩C)

(4) Σ#(四四交集) = C(5,4) * #(A∩B∩C∩D)

(5) Σ#(全交集)   = C(5,5) * #(A∩B∩C∩D∩E)

最後，就是分別計算以下項目：(" ** "代表次方" ^ ")

(a) #(A) = #(A_1) + #(A_2) + #(A_3)

         = c(30,2)*5**28+c(30,1)*5**29+5**30

(b) #(A∩B) = #(A_1∩B_1) + #(A_1∩B_2) + #(A_1∩B_3)

            + #(A_2∩B_1) + #(A_2∩B_2) + #(A_2∩B_3)

            + #(A_3∩B_1) + #(A_3∩B_2) + #(A_3∩B_3)

            = c(30,4)*c(4,2)*4**26+c(30,2)*c(2,1)*4**28+4**30

            + 2*[c(30,3)*c(3,2)*4**27+c(30,2)*4**28+c(30,1)*4**29]

  【紅色部分也是簡化關鍵，因為淺藍那兩個項一樣、綠色一樣、紫色一樣】

(c) #(A∩B∩C)

= c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*3**24+c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*3**27+3**30

+ 3*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*3**25+c(30,4)*c(4,2)*3**26+c(30,2)*3**28

     +c(30,2)*c(2,1)*3**28+c(30,1)*3**29]

+ 6*[c(30,3)*c(3,2)*3**27]

(d) #(A∩B∩C∩D)

= c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*2**22+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)*2**26+2**30

+ 4*[ c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)*2**23+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*2**24

     +c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)*2**25+c(30,2)*2**28

     +c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)*2**27+c(30,1)*2**29]

+ 6*[ c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)*2**24+c(30,4)*c(4,2)*2**26

     +c(30,2)*c(2,1)*2**28]

+ 12*[ c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)*2**25+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)*2**26

      +c(30,3)*c(3,2)*2**27]

(e) #(A∩B∩C∩D∩E)

= c(30,10)*c(10,2)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)+c(30,5)*c(5,1)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+1

+ 5*[ c(30,9)*c(9,2)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)

     +c(30,6)*c(6,2)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)+c(30,4)*c(4,1)*c(3,1)*c(2,1)

     +c(30,1)]

+ 10*[ c(30,8)*c(8,2)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)

      +c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,4)*c(4,2)

      +c(30,3)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,2)*c(2,1)]

+ 20*[c(30,7)*c(7,2)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,1)*c(2,1)+c(30,3)*c(3,2)]

+ 30*[c(30,6)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,1)+c(30,5)*c(5,2)*c(3,2)+c(30,4)*c(4,2)*c(2,1)]

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最後一步了！藉由心算或是電腦計算即可得

#(A∪B∪C∪D∪E) = 100669423178347649484640

接著答案就是 [6^30-#(A∪B∪C∪D∪E)]/6^30

掐指一算 = 0.544634557955  (‧^ω^‧)

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說真的...按run的那瞬間好怕答案跟版友的程式解不一樣

我沒有勇氣回頭再check一次(╯°□°）╯ ~ /(_□_,,)\

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→ angelio: 我不行了，樓下推
真沒擋頭

推 kimisawa: 先end再推
→ yorkyoung: 我也不行了，樓下幫
推 sisn: 還好啦，這應該還是高中數學的範圍。
→ qwe20:      end
推 onedozen: 看第一行答案而已，後面樓下專業的來
→ MoDerF: 數學之塔
→ fish000542: 浪費才能
推 jj920408: 嗯嗯嗯
推 swfhome: 嗯嗯嗯 我算也是這樣
推 absgpc: 嗯嗯嗯，可以可以
推 xeriok40364:  (‧^ω^‧)
推 yorkyoung: 那可以算小妹的嗎
推 yoyojkjk1155: 嗯嗯 跟我想的一樣
推 ashon: 我昨天就跟你說是這樣算了
→ znmkhxrw: 謝謝雄吼
推 kelvin1105: 跟我想的差不多
噓 cha761221: 抱歉乙恩這麼專業還是得噓
推 kobelake: 跟我算的差不多!
推 rehearttw: 推！這就是專業！
推 s820912gmail: 認真推
推 copy2345678: 小子，你真行!
→ vincent81614: 喔喔 跟我算的一樣欸 不錯喔
推 eternaldark: zn老師 可以用高中程度說法簡單說明嗎=3=/
你才老濕

這是高中排組阿

推 iso022000: 昨天我也是依這個邏輯想，想到排容就睡著了 讚讚
推 yahooyamgoog: 跟我心算的差不多給推
推 angelio: 指考出題委員：讚，有題目跟答案，明年出這題。
推 pinkcircleee: 我也是這樣算的！
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.238.56), 09/10/2017 16:26:02
推 dennishsieh: 文組豆頁疼
推 ntnnthree: 摁跟我想的一樣
推 wenzhong: zn回來了
推 shinelusnake: 之前學測才出過神魔12宮排列 看來今年指考又有得出
→ shinelusnake: 了
推 chanyoung526: 趕快推個 不然別人會以為我看不懂
推 rongrong421: 我推  雖然看不懂XDD
推 tom51709: 趕快推個免得別人以為我不懂
推 crazysun: 推 想不到我的好奇 可以釣出三篇文
推 crazysun: 有一篇標題不一樣 是四篇
推 wby0122: 只有我看不懂嗎
推 passbyks: 五成機率解五屬強化 看在有奶的份上沒問題
推 tsuduki: ∩_∩
推 ilsr: 嗯嗯，很合理～(嚼
推 feyhs: 不是zn 不寫論文
→ feyhs: 若是zn 就是能 長篇大論
推 Galiburn: 恩，跟我想的一樣
推 slightbluesk: 庭院深深深幾許
推 a3225737: 恩恩 跟我想得差不多
推 arcslam: 推個
推 card: 專業給推~
推 Abysslol: 真的是高中排組概念 但是數字很大會哭就是
推 teddybear221: 這篇可以寫論文了 太狂啦~
推 cloudxyz: 我排容想兩步就放棄了，你居然真的算！
老實說我算到#(A∩B)後 還沒觀察到有些項相等時 這個有9項

但是如果繼續算下去

#(A∩B∩C) 有27項

#(A∩B∩C∩D) 有81項

#(A∩B∩C∩D∩E) 有243項 乾你老師

還好藉由對稱性發現其實這243項有可以分成1個 5個 10個 20個 30個
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.238.56), 09/10/2017 19:44:00
推 amigo30143: ZN有補充文章長度我就推XD
推 XSperanza: 看不懂就是要推!
推 ARTCOM: 看不懂路過推==
推 crazysun: 推 ~~
推 blackkingk: 快推，免得被說看不懂 :P
推 kivenbeach: 我只會算AUC還是推個
推 wind1729: 其實有想過 只是沒有勇氣把他算出來
噓 gino928: 喔。啊不就好棒棒
推 omyg0d2007: 推   但是我看不懂XD
推 M013: 文組崩潰☺
推 hedes: 還好第一行就有結論XD
推 lkjhgfdsa681: 這太厲害不推不行