推 hhtp6rms: 推認真文 06/01 22:04
推 milkdragon: 太猛啦，數學王 06/01 22:13
推 mathfool: 高手 06/01 22:30
推 gelion: 專業推 06/02 04:50
推 bowin: 推！ ^.^ 06/02 07:08
推 shawn81: 推 06/02 07:36
推 merribrook: 推! 最後hardy可惜的那五年 是指在英國的時間還是18-2 06/02 13:51
→ merribrook: 25歲(大概)沒受傳統教育的時光? 06/02 13:51
根據我的理解是Ramanujan在英國那五年不被理解的時光,有空我會把
這文章寫得更平易近人,因為Hardy的演講實在是太長太長了,晚上我會努力寫的更緊湊
和容易看懂些
※ 編輯: Schwinger (36.228.225.121), 06/02/2016 17:44:02
希望獻給台灣的百姓，希望台灣能夠有更多的數學家，以及每個人應該受到良好的
教育，希望台灣有更多優秀的人避免向Ramanujan一樣悲劇的發生，大家一起努力讓台灣
變好!!!
一個數學家的辯白
作者： （英）哈代
出版社：大連理工大學出版社
出版日期：2014/05/01
語言：簡體中文
印度數學家Ramanujan
演講者:Hardy於1936年8月31日於哈佛大學演講
在這演講中賦予自己一項真正困難的使命，如果我決意一開始就提出種種失敗的
藉口,那就幾乎不會來做這個演講了，我試圖幫助你們對近代數學史上這位最浪漫的人物
進行某種理智的評價,而我以前沒有真正做這種評價。這個人的生涯看起來充滿了矛盾
和爭議，他向所有世俗的評價原則挑戰，我們所有的人對他的評價大概只有一點是非常
一致的，那就是在某種意義上他是一位非常偉大的數學家。
評價Ramanujan的困難是顯而易見地而且難以克服。Ramanujan是一個印度人，我認為
英國人和印度人完全相互理解往往會有一些困難，他充其量只是一個半受教育的印度人，
他從未在接受正統的印度教育方面勝人一籌，儘管這種較不足稱道。他從沒能通過一所
印度大學中的”優等文科考試”，甚至也從未能湊合著成為一名”不及格的文科學士”。
他的一生大部分時間都在工作，實際上完全忽視了現代歐洲數學，他在30歲出頭就去世
了，那時他的數學教育正在某些方面艱難的起步。他發現的作品很豐富，他發表的論文集
結成近400頁的一大卷，但他也留下了大量沒有發表的工作，直到近幾年才被徹底地分析，
這些工作包含許多新東西，但是更多的是再發現，而且通常是不完善地再發現， 有時候
仍然不可能區分那些是他再發現的，那些是他設法學習的。甚至現在我也想像不出有人能
充滿自信地說他是一個多麼偉大的數學家，更不地說他可能會成為多麼偉大的數學家，
這些都是名副其實的困難，但是我想我們會發現其中有些它們看起來要更容易解決，而且
我的最大困難與Ramanujan明顯矛盾沒有關係。我真正的困難在於，從某種意義上來說，
Ramanujan是我的發現，我並沒有發明他，像一樣偉大的人物一樣，他發明了自己，但是
我是第一個確實有資格有機會看到他的某些工作的人，我依然滿意地記得我能夠立刻確
認我發現一塊瑰寶，我想我比其他人更了解Ramanujan，我依然是這個題材的首要權威。
英國還有其他人比我更好地了解他的部份工作，尤其是Watson教授，還有Mordell教授，
但是無論是Watson教授，還有Mordell教授都不像我那樣熟悉Ramanujan本人。有幾年時
間我幾乎每天都見到他，同他交談，最重要的是我確實地同他合作過。這個世界上,除了
Littlewood之外，我對他比任何人要更懷感激，我同他的交往是我生活中一段浪漫的插
曲，那時候我的困難不是我對他的了解不夠，而是我了解和感受的太多了，這樣我簡直
無法保持公正。
關於Ramanujan生平的一些事實，有Aiyar和Rao寫的Ramanujan傳記，還有我參考之後
寫的發表在Ramanujan的論文集中。1887年Ramanuijan 在印度東南部的馬德拉斯(Madras)
省Tanjore縣Kumbakonam鎮附近的Erode的一個婆羅門家庭，他的父親是Kumbakonam鎮一家
零售布店的店員，儘管他所有的親戚種性都很高，但是都很貧窮。
7歲時他被送到Kumbakonam中學，在那裏讀了9年。在10歲之前他的特殊才能就自行顯
露出來，到了12歲或13歲的時候，他被看作是一個十分超常的孩子，他的傳記作者講述了
一些令人難以置信的故事。例如，他開始學習三角函數之後，他自己發現了著名的Euler
公式，當他後來從Loney的<<三角學>>第二卷中發現制這是一個已知結果公式失望至極。
直到16歲他從未見過高層次的數學書，那時候Whittaker的 <<現代分析>>還沒有廣
為流傳，Bromwich的<<無窮級數>>還不存在。毫無疑問的，如果他接觸這二本的任何一
本都將對他產生極大的影響，他的人生會更不一樣。然而另外一本完全不同類型的書，
George Shoobridge Carr的《純數學和應用數學概要》最先激發了Ramanujan的全部能力。
作者Carr以前是劍橋大學岡維爾與凱斯學院(Gonville and Caius College)的學者，該書
1880年和1886年出版二卷，現在幾乎找不到了。劍橋大學圖書館有一個複製本，恰巧
Kumbakonam大學圖書館有一本，Ramanujan的朋友幫他借到了它。這本書在任何意義上都不
是一本出色的書，但是因為Ramanujan而著名起來，無疑地這本書深刻地影響Ramanujan，
他對這本書的熟稔標誌著他數學生涯的真正起點，這樣的一本書必然有它自身的特點，縱
使Carr的書不是什麼高級的書，但也並不是三流的教科書，而是已真正的學者身分和熱情
寫成的，具有自身風格和特點的書。Carr本人是倫敦一位私人教師，大約40歲來劍橋大學
做學生，1880年數學榮譽考試第12名，同年他出版了著作的第一卷。現在除了Ramanujan
使他的名字保持了活力，他已經完全被遺忘了，甚至他自己的學院裡也是如此，但是他
必然在某面是一個相當出色的人。
我猜這本書實際上是Carr輔導筆記的概要，如果你是Carr的一名學生，學習了《純
數學和應用數學概要》中的適當章節，你會發現該書大約包含了現在數學榮譽考試A部分裡
面的課題，因為在1880年劍橋大學人們理解這些課題，並且像他自稱那樣的是個"概要"，
它包含了6165條定理敘述,這些定理系統十分科學地排列著,附錄的證明通常只是相互參照
著,所有Ramanujan的著名的筆記本公式(它實際上並不包含證明)筆記都被誇大了，習筆記
本的學生都能看出Ramanujan展示的觀點是從Carr那裡複製來的。
Carr書中有些章節討論代數，三角，微積分和解析幾何等常見的科目，這本書有些
章節內容寫的不太相稱,似乎Carr特別喜愛積分的形式理論的專題，對它了論述非常充分
而且在這方面顯然很不錯。書中並沒有展示函數論,我十分懷疑Ramanujan到了生命的盡頭
是否清楚的理解什麼是解析函數。更令人吃驚的是考察Carr本人的興趣和Ramanujan後期
的工作都沒有發現橢圓函數，不管Ramanujan怎麼獲得關於這些理論特別的知識,都不是來
自於Carr的書。
總之，將Carr視為一個具有如此不尋常天賦的孩子的鼓舞者，它是很不錯的，而且
Ramanujan做出了驚人的反應。
他的印度傳記作者寫道:
通過這個向他開啟的新世界，Ramanujan興高采烈地調整自己。正式這本書喚
醒了他的天賦，他開始真正認真證明書中所給出的公式。由於沒有其他書的幫助，就他所
及每個解法都是一項研究……..Ramanujan常說在夢中Namakkal地區的女神用公式鼓舞了
他。一個奇怪的事實是，他經常在起床時記下結果並迅速地證明它們，儘管他不能給出一
個嚴謹的證明……..
我故意引用了最後幾句話，並不是因為我重視它們，我同你們一樣對Namakkal的女
神毫無興趣，而是正是因為我們正探討Ramanujan生涯中困難和悲劇性的部分，我們必須
盡我們所能去試著理解他的心理狀態以及早年壟罩在他周圍的氣氛。
我肯定Ramanujan並不神祕，除了在一種嚴格的物質意義上，宗教在他的生活並不重
要，他是一個正統的、種性等級較高的印度人，通常恪守(實際上嚴格說來與在英國的
印度人有很大的不同)他的種性儀式的所有儀式。他曾向父母許諾這樣做，在信中恪守
他的諾言。他是一個嚴格意義上的素食者，這點他後來生病時表明是異常困難的，他在
劍橋的所有日子都是自己做飯，而且總是先換上教徒穿的寬鬆衣服再做。
發表在《論文集》上的二篇關於Ramanujan的回憶錄(都是由在不同冊面對他很熟悉
的人寫的)在關於他宗教信仰方面觀點相反。Aiyar和Rao寫道:
Ramanujan有明確的宗教觀，他對 Namakkal女神懷有特殊的崇敬……他相信上帝
的存在以及人們能接近上帝……他已樹立起關於生命中的信仰而且隨後……
而我寫道
……他的信仰是一是問題而不是理智上的深信,我清楚地記得他告訴我所有的宗教在他看
來或多或少依樣真實……
我們誰是對的？對我來說根本毫無疑慮，我十分自信我是對的。我相信古典文學學者
有一個基本的校勘原則---越是難讀的地方越是喜歡。如果坎特伯雷(Canterbury )大主教
告訴一個人他信仰上帝，告訴另一個人他不信上帝，那麼可能第二種觀點是可靠的，否則
很難理解為什麼他會產生這種觀點，而有許多好的理由解釋他的第一種觀點是對還是錯。
類似地，如果Ramanujan那樣，一個嚴格的婆羅門教徒告訴我他沒有明確的信仰，當然他
的確這樣做了，那麼幾乎可以肯定他就是像他說的那樣想的。
這不是Ramanujan傷害他的雙親及他的印度朋友感情的充分理由。他不是一個理性的
異教徒，而是一個嚴格意義上的"不可知論者"，他認為印度教和其他的宗教都沒有特別的
好處或是壞處。例如，印度教和基督教相比，更是一種儀式的宗教，而如何信仰簡直無關
緊要。如果Ramanujan的朋友猜測他接受了這種宗教傳統的教義，並且遵循他們，那麼事
實上，他只是在執行一種無害而且可能是必要的節約。
關於Ramanujan的信仰這個問題本身並不重要,但也並非無關要，因為有一件事情我去
確實希望盡量強調，Ramanujan身上有許多東西難以理解，我們沒有必要故弄玄虛。就我
而言，我喜歡他並且尊重他，希望從理性的角度看他，而且我想向你們澄清，當Ramanujan
健康舒適地在劍橋生活時，除了他的古怪之外，他和這裡其他的人一樣，是一個理智、
健全的人，而且有他那種方式的敏銳。最後一點我想讓你們承認 ＂確實有一些難以理解
的事，一些古老的東方智慧的不可思議現象！＂我並不相信古老的東方智慧，我想介紹你
們的是一個像其他傑出人物那樣具有自己特色的人，並不是在一個在與他的交往中，人們
能以與他飲茶交談，討論政治和數學為樂的人。總之，這裡展示的不是一個來自東方的奇
觀，也不是一個激動的白痴或心理上表現怪誕的人，而是恰巧成為一個偉大數學家一位具
有理性的人。
一直到大約17歲，Ramanujan一切都很順利。
1903年12月，他通過馬德拉斯大學的入學考試，翌年一月進入Kumbakonam政府大學
的初級文科班學習，並獲得了Subrahmanyam獎學金，這一個獎學金通常授予精通英文和
數學的學生………
但是此後一系列的悲劇性局面接踵而至。
到此時他如此專心於數學學習以至於把所有的課時，-----無論是英語、歷史、還
是哲學的課-----都用於從事一些數學研究，對班裡發生的事情漫不經心，對數學的這種
過度投入以及由此時對其他學科的忽視致使他未能升入高級班級，隨後獎學金也中斷了。
一方面由於失意，一方面由於一個朋友的影響，他跑到印度北方的Telugu地區，但是漫遊
一段時間之後，由返回Kumbakonam重新進入大學。由於缺課，1905年他沒辦法提出足夠的
出席率來得到學期證明。1906年他進入了馬德拉斯的Pachaiyappa學院，但是因為生病又
回到Kumbakonam，1907年他以個人學生身分參加美術考試但是沒有通過……
直到1912年，除了數學之外，Ramanujan幾乎沒有固定的職業。1909年他結婚了，
有必要有固定的工作，因為不幸的大學經歷，他找工作非常困難，大約1910年，他找到了
比較有影響力的印度朋友，Aiyar和他的二位傳記作者，他們試圖幫他找一個可以過得去的
職位，但是所有的努力均告失敗，1912年，他成為馬德拉斯省港務局辦公室的一名職員，
年薪大約30英鎊，那時他大約25歲，18至25歲對一個數學家生涯而言是一個關鍵的年齡階
段，Ramanujan的智力卻受到了損害，他的天賦再也無法受到充分發展的機會。
關於Ramanujan以後的生活沒有什麼可以多說的，他的第一篇有價值的論文發表於1911
年，1912年他的超人能力開始為人所理解。值得注意的是，儘管印度人對他很友好，但是
只有英國人能做一些實在的事情。F.Spring先生和G.Walker先生幫他得到了特殊的獎學
金，一年60英鎊，這對一個剛結婚的印度人來說足夠可以過得比較舒適。
1913年Ramanujan寫信給我，我與Neville教授克服了重重困難，使他1914年來
到英國。在這裡他度過了3年不受干擾的活躍時期，其成果你們可以在《論文集》中讀到。
1917年夏天，他生了病，再也沒有真正地康復，盡管他還繼續工作，這種工作當然是間歇
地進行，但並沒有明顯地退步的跡象，直到1920年他去世。1918年初他成為英國皇家學會
會員，同年他成為劍橋大學三一學院成員(他是第一個同時獲得這二個頭銜的印度人)。
他的最後一篇文章關於"Mock-theta函數"的數學文件大約寫於他去世前2個月，這也是
去年Watson教授像倫敦數學學會演講的題目。
Ramanujan真正的悲劇不在於英年早逝。當然任何偉大人物年紀輕輕就死去都是一種
災難，但數學家30歲通常已經比較老，他的死也許不像看起來那樣是一種悲劇性的結局。
Abel死於26歲，盡管他必然會為數學增添許多內容，但他似乎難以成為一位偉大人物。
Ramanujan的悲劇不在於早逝，而是在那不幸的5年中,他的天賦被引向途並且受到束縛並
且遭受到某種程度的曲解。
我再次瀏覽16年前寫的關於Ramanujan的文字，雖然我現在比當時更好地理解他的
工作，而且能夠不帶偏見地思考他，但我找不到太多我特別想修改的地方，只有一段話
現在看起來是站不住腳的。我寫道:
"對於Ramanujan工作的重要性也許有歧異,比如他的工作如何得到何種水平的評價,可
能對未來數學產生什麼影響? 他的工作不具備那些偉大的工作的簡明性和必要性,如果他
不那麼怪的話會更偉大一些。他所展示深刻的無與倫比的創造力無人能否認,如果他在青
少年時期就被發現並進行培養，他會成為一個更偉大的數學家，他會發現更多嶄新的而且
無疑是更重要的東西，另一方面他不再是Ramanujan而是一個歐洲教授,失去的也許比得到
的更多...... "
除了最後一句話，頗似荒唐地感情用事，我堅持以上的觀點。當Kumbakonam大學拒
絕了他們擁有的一個偉大人物時，它當然是一無所獲，而損失卻是不可彌補的。這是我所
知道的無能、僵化的教育體制造成損害的最糟糕例子。對於這個將要擁有另一個偉大數學
家的世界而言，他要求的那麼少，5年中每年60英鎊，與有真知灼見的和有想像力的人只
有偶爾的接觸。
Ramanujan給我的信件全文重印在《論文集》中，包括大約120條定理的敘述，大部
分是從他的筆記本中摘錄的一般恆等式，這裡我引用很有代表性的15條，其中包括二條定
理(14)和(15)，他們與其他定理一樣有趣，但是其中一條是錯的。另一條，如所表示的那
樣，使人誤解。其餘得後來都被許多人證實了，尤其是Rogers和Watson找到了特別困難的
定理(10)-(12)的證明。
(1)
(2)
(3)
.
.
.
(15)
我希望你們試著重現著一位普通的數學教授收到一位陌生的印度職員這樣一封信的直
接反應。首要的問題是我是否能夠識別出一些東西。我自己已證明了類似(7)那樣的公式，
而且似乎對(8)模模糊糊有些熟悉。事實上(8)是經典的，它是Laplace的一個公式，可能
最先由Jacobi證明，(9)出現在Rogers在1907年發表的一篇論文中。做為一個定積分專家，
我想也許我會證明(5)和(6)，而且的確做到了這一點，盡管遇到的麻煩比我想像的要多的
多。總之，積分公式給人的印象似乎不深。
我發現級數公式(1)-(4)更有趣，不久以後就明顯地看到Ramanujan一定掌握了許多基
本原理且胸有成竹。(2)是Legendre級數理論中很著名的一個Bauer公式，但是其餘的公式
比它們看起來要難的多。需要證明的定理現在都能在Baily關於超幾何函數的劍橋數學小
冊子中找到。
公式(10)-(13)屬於不同的水平而且都很困難和深奧。橢圓函數方面的專家都能立刻
看出(13)是以一種"複乘法"理論中推倒出來的，但(10)-(12)完全難倒了我，我以前從未
見過與它們有絲毫相像的公式。單單一眼看就足以說明這些公式只能來自最高級的數學家
之手。它們一定是對的，因為如果不是的話，沒人能具有這樣的想像力去發明它們。最後
你們必須記住當時的我對Ramanujan一無所知，不得不考慮每一種可能性，作者必須是完
全誠實的，因為有時偉大數學家比用偷、騙這種不可思議的小技巧的小偷和騙子更為
普通。
最後二個公式分開列出是因為他們不正確，這表現了Ramanujan的侷限，但並不妨
礙到其成為Ramanujan非凡才能的附加證據。(14)中的函數是係數的真正近似，盡管不像
Ramanujan那樣想像的那麼靠近。Ramanujan的錯誤敘述可以說是他曾作出的最富成果的工
作之一，因為它最終指引了我們在分析方面的所有合作的研究。最後的(15)是對的，雖然
確實是"對的"，卻一定會使人誤解(Ramanujan真正地陷入了誤解)。作為一個近似，式中
的積分並不優於1908年Landau發現的簡單函數
(16)
Ramanujan因為質數分布問題的一個錯誤類推而被引向歧途。我要在稍後再來談他
在數論上面的工作。
細究起來，Ramanujan的很大一部分工作無可避免地被證明是超前的。難以想像種種
不利的條件伴隨著他，一個貧窮孤寂的印度人用他的智能和歐洲人積累起來的智慧競爭。
他根本沒有得到真正的教育，在印度那裏沒有人可以讓Ramanujan從他身上學到知識，他
充其量只能見到三四本高質量的書，都是英文的，他生命中有段時間可以進入馬德拉斯的
圖書館，但是那不是一個好的圖書館，只能見到幾本法文和德文書，而Ramanujan對這二
種語言一竅不通，我估計Ramanujan在印度最好的工作大約2/3只是發現別人的結果，儘管
Watson系統地研究他的筆記本後發掘了更多的東西。
Ramanujan發表的大部分工作是在英國做出的，他的頭腦已經僵化到某種程度，他根
本無法成為一個"正統"的數學家,但是他還是學會做了新的工作並且做得相當不錯，系統
地教他是不可能了，但是他逐漸吸收了一些新的觀點，特別是他學會了證明的涵義，他後
期的論文雖然在某些方面和以前一樣奇特和特別，但是讀起來已經像是見多識廣數學家作
品，不過他的方法和工具實質保持了原貌，一般人會以為像Ramanujan這樣的形式主義者
會對Cauchy定理著迷，可是他幾乎從未使用它，而且似乎從未感到對它有絲毫的需要，這
是他的數學形式方面才能的最令人驚奇的證明。
很容易將Ramanujan再發現的定理彙編成一個給人很深刻的印象的表，這樣一個表當
然不能特別輪廓分明，因為有時候他只是發現了定理的一部分，有時候雖然發現了完整的
定理，徹底地理解它，卻沒有實質的證明。例如，在解析數論中，從某種意義上他發現了
很多，但他遠沒有理解這門學科的真正困難。
他的一些工作，尤其是在橢圓函數數論方面，仍然保留了一些難以理解的東西。
在Watson和Mordell做了所有工作之後，還是不可能區分那些是他莫名其妙得到的，
那些是他自己發現的，我只能選取其證明在我看來算清楚的例子。
在這裡我得承認我該受責備，因為有很多事情我們現在想要知道而我當時可以很容易
地弄清楚。我幾乎每天都遇到Ramanujan，稍加探問就可以消除大部分模糊不清楚的細節。
Ramanujan能夠而且願意直接回答提問，絲毫不會對他的成就故弄玄虛。我幾乎沒有問
過他這類問題，我甚至從未問過他是否讀過(我想他一定讀了)Cayley或是Greenhill的
《橢圓函數》。
現在我對此表示遺憾，但也絕非很重要的，這是很自然的。首先，我不知道
Ramanujan會死。他對於自己的歷史和心理活動並不特別感興趣，他是一個渴望從事數學
工作的數學家。畢竟我也是個數學家，數學家遇到Ramanujan之後通常有比歷史調查更有
意義的事情值得思考。當Ramanujan每天幾乎拿半打的新公式給我看時，為他是如何發現
這個或那個已知的定理而煩惱相較之下看起來很可笑。
我認為Ramanujan在古典數論中沒有發現很多，或者說他確實也了解的不多。任何時
候他對算術的形式的理論都是一無所知，我懷疑他來劍橋的之前他是否懂得二次互反律。
丟番圖方程應該很適合他，但是他在這方面做得比較少，做出的也不是他最好的工作，他
給出Euler方程
(17)
解形式如
(18)
以及
(19)
但是這二個都不是一般解
他重新發現了von Staudt關於Bernoulli的著名定理
(20)
很難說出他在任何意義上證明了這個定理，因為他在生命中某個時候發現了它，
這時他幾乎沒有形成任何證明的任何概念。正如Littlewood所說:「證明意味著什麼？這
一個明確的概念，今天已經熟悉到理所當然的程度，而他卻也許根本沒掌握。如果某處出
現了有意義的推理片斷，是證據和直覺的混合使他確信是對的，他沒有洞察到這一層。」
稍後我將來談一談這個關於"數學證明"的問題，但要延遲到更重要的一段演講中，在目前
的情形還沒有什麼明顯超出Ramanujan的證明能力範圍的東西。
有重要的一章是關於數論的，特別是將整數表示為平方數之和的理論，與橢圓函數
有密切的聯繫。這樣將n表示成二個平方數的表示個數是
(21)
Jacobi給出了4、6和8的平方數的類似公式。Ramanujan發現了這些，大部分是相同
類型的。他還發現了高斯定理，及n是3個平方數之和，除非它具有
(22)
的形式，但我並不把重點放在這裡。這個定理極容易猜測卻難以證明，所有已知的證明都
依賴於三元形式的基本理論，而Ramanujan一無所知，我同意Dickson教授認為他可能一點
兒也沒掌握這個理論的觀點，無論如何他對於表示的數目一無所知。
這樣Ramanujan在來英國之前對數論的貢獻比較少，但那些不理解他對數字本身愛好
的人是無法理解他的。我以前寫道:
他能夠以一種幾乎難以置信的方式記住數字的特性，Littlewood曾說過
每個正整數都是Ramanujan的朋友。我記得當時當他生病住在Putney醫院時，有一次我去
探望他，我乘坐的計程車號碼是1729，我說這個數字在我看來相當單調，但願它不是一個
壞兆頭。Ramanujan回答:「不，它是非常有意思的數，它是最小能用二種不同方式表示成
二個立方數之和的數」
3 3 3 3
1729 = 12 + 1 = 10 + 9
很自然地我問他是否能告訴我相應的四次冪方問題的解，
想了一會之後，他回答他不知道明顯的例子，並猜想第一個這樣的數一定非常大。
Note:
已知四次冪方問題是Euler的例子
4 4 4 4
635318657 = 158 + 59 = 134 + 133
在代數方面，Ramanujan的主要工作涉及超幾何級數和連分數
(當然我是在過時的意義上用代數這個詞的)。這些科目正好適合他，他是這些領域無
可非議的大師之一。現在有三個著名的恆等式，分別是Dougall-Ramanujan恆等式，
(23)
Rogers-Ramanujan恆等式，
(24)
依賴Rogers-Ramanujan恆等式，在這些恆等式中英國數學家名列在Ramanujan之前，我將
在其他演講中談論這些恆等式。至於超幾何級數，人們會說他粗略地重新發現形式上的理
論，這在Bailey的小冊子中陳述出來，直到1920年才為人們所知。Carr的書中有關於他們
的內容，Chrystal的《代數學》中寫得更多，無疑地是Ramanujan是從這些書起步。
(1)-(4)這四個公式是這項工作高度專業化的例子。
他在連分數方面的傑作是包含定理(10)-(12)的關於
(25)
的工作。這一分數理論依賴Rogers-Ramanujan恆等式，其中Rogers名列在前，但是他在別
的方面超過了Rogers，而且我所引用的定理是Ramanujan自己的，而且我所引用的定理是
Ramanujan自己的，他還得出許多相當漂亮的公式，其中像Laguerre公式的
(26)
是極為特殊的例子。Watson最近發表有影響力的證明
Ramanujan的工作也許在這些領域做的最好。
我以前寫道:
最令人驚奇的是他對於代數公式無窮級數變換等的洞察力，這方面我肯定從未遇過和
他旗鼓相當的人，我只能將他與Euler和Jacobi相比。他從數字的例子歸納得出的結果比
大多數現代數學家多的多，例如他關於分析同餘性質都是通過這種方式發現的，但是他將
他的記憶力、耐心以及計算能力融合成一種概括能力，一種對形式的感覺和一種迅速修正
其猜想的能力，這種通常著實令人驚奇，而且使他在他的時代，在他自己特殊的領域中,
無人與之能匹敵。
現在我認為這種特別激烈的措辭並非言過其實，公式的偉大時代可能已經結束，
Ramanujan應該在100年前出生，但是他是他的時代最偉大的形式主義者。在過去50年中有
許多比Ramanujan更重要的、我想有人會說更偉大的數學家,然而沒有一個數學家有勇氣在
自己熟悉的領域面對Ramanujan，如果他懂得比賽規則，Ramanuaja可以輕易讓給世界上任
何數學家15分。
在分析方面Ramanujan的工作肯定不會給人深刻印象,因為他不懂函數論，離開函數論
就無法從事真正的分析，還有積分的形式部分，所有這些東西他只能從Carr或是其他的書
學到，已經被人反覆和深入細緻地研究過了。然而他仍然重新發現數量驚人的最優美的解
析恆等式，比如Riemann Zeta函數的函數方程
即
(27)
被用一種幾乎認不出來的符號紀錄在筆記中,還有Poisson求和方程
(28)
此外還有Abel函數方程
(29)
他有許多形式上的思想強調了最近Watson、Tichmarch和我自己關於"傅立葉函數
核"及"反商函數"的工作，當然他可以求出任何可以求值的定積分值。有一個特別有趣的
公式，即
(30)
這個公式他特別喜歡且不斷地運用。這是一個真正的內插公式，他使我們可以得出一些結
論，例如在一定條件下，自變數的所有正項積分值為0的函數值也--一定為0。雖然這個公
式與Mellin及其他人的工作密切相關，但我從未見到過其他人清楚地論述過它。
我還剩下Ramanujan早期工作中最能引起人們興趣的最後二個領域，他在橢圓函數和
解析數論方面的工作，第一個(橢圓函數)可能除了專家之外,對其他人來說實在太過專業
和複雜而難以理解，現在我不打算談論它；第二個(解析數論)更困難,讀過Landau關於質
數的書和Ingham的小冊子都會知道，而且每個人都能粗略理解為什麼這些問題擊敗
Ramanujan，因為這是他真正的失敗，他像平常那樣展開驚人的想像力，但隨後他什麼也
沒證明,甚至他的想像是錯的。
這裡我就不得不就一個非常困難的題目---證明及其在數學中的重要性---多說幾句。
所有的物理學家和許多受人尊敬的數學家都輕視證明。例如，我聽說Arthur Eddington教
授認為:「證明，像純粹數學家理解的那種證明，實在是令人乏味又無足輕重，沒有人在
確實肯定自己發現了某種好東西後會再浪費時間去尋找一個證明。」，事實上Eddington
教授是自相矛盾的，有時候他自己甚至屈尊去做證明。對於他來說，直接知道宇宙中恰
有
136*2^256
個質子並不夠，他禁不住誘惑想要去證明它。我不禁想，無論這個證明的價值怎樣，它給
他某種智力上的滿足。毫無疑問地他的辯解是想要說明"證明"對他和對一位純粹數學家意
義截然不同，無論如何我們不必過多地去咬文爵字。但對於他的觀點並且我相信也是幾乎
所有的物理學家都從心底完全同意的觀點，一個數學家是應該做出某種答覆的。
我不打算捲入一個特別敏感的概念的分析中，但我想關於證明有幾個觀點是差不多所
有數學家都贊成的。首先，即使我們並不確切地知理解什麼是證明，但不管怎樣，在普通
分析中，當我們看到一個證明時總能夠辨別出來。其次在任何證明的敘述中都有二個不同
的目的，第一個目的只是保證說服力，第二個目的是展示結論，作為一系列命題的傳統模
式的巔峰，而這些命題的真實性已經得到了承認，並按照一定的規則排列。經驗表明，除
了在最簡單的數學中，這二種觀念，如果不滿足第二個，就幾乎很難滿足第一個。我們能
夠直接辨認出5或者17是質數，但是除了研究證明之外，沒人能確信
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是一個質數，沒有人能擁有這樣活躍和全面的想像力。
數學家經常通過一種直覺的常識發現定理，結論在他看來似乎有道理，於是他著手構
造出一個證明。有時候這是一種程序化的過程，任何受過良好訓練的專業人員都能滿足要
求，然而通過想像是一種極不可靠的引導，在解析數論中尤其是如此，連Ramanujan的想
像力也糟糕地將他引入迷途。
我經常引用一個引人注目的錯誤假設的例子，他甚至幾乎得到高斯的認可，駁倒它花
了大約100年的時間。解析數論的中心問題是質數分布問題，小於一個大數x的質數個數
π(x)大約為
(31) x/logx
這就是質數定理，已經被猜想了很長的時間，但是直到1896年被Hadamard和Poussin
證明後，它才嚴格地建立起來。去掉不足地近似誤差，
更好地結果是
(32) Li x=∫_2^xt/logt
在某些方面還要好的結果是
(33)
現在我們不必為級數構成的規律而煩惱，很自然地推出，對無論多麼大的x
(34) π(x)<Lix
高斯和其他數學家評論了這個猜想的高度可能性。這個猜想不但看起來有道理，並且
得到所有事實的佐證。已知有10 000 000個質數，其數字間隔地達到
1 000 000 000，對於存在的每一個x值，(34)都是正確的。
1912年，Littlewood證明了這個假設是錯誤的，存在無窮多個x值使得(34)中的不等
號必須反過來。特別地，存在一個數X使得對於小於X的某個x，(34)是錯的。Littlewood
證明了X的存在性，但是他的方法沒有什麼特別的價值，就在最近，S.Skewes發現了一個
可採用的值，即
34
10
10
10
我認為這是數學中適用於某個明確目的的最大數。
宇宙中的質子個數大約是
80
10
國際象棋的可能局數更大一些，也許是
50
10
10
(無論如何是一個二重階指數)，如果宇宙是一個棋盤，質子是棋子，適當位置二個質子
的交換是一個數，那麼可能的棋局數就類似於Skewes數。無論通過改進Skewes的討論可以
將該數減少多少，看來我們是不可能知道關於Littlewood定理正確性的例子了。
這個例子中的真實性不僅擊敗了所有事實和有普遍意義的證據，甚至擊敗了像是高斯
那樣有力且深刻的數學想像力，當然他們是從數論最困難的部分中選出來的。除非進行某
種程度的簡單討論，質數定理中沒有真正容易的部分，雖然這種簡單討論不能證明很多東
西，卻也確實沒有誤導我們。
(中間省略一些質數定理的專業討論)
簡單的討論可以引導好的數學家得到質數定理，柴比雪夫是第一個在質數定理中取
得實質進展的數學家，我想像Ramanujan也是以同樣的方式開始，盡管筆記上沒有任何可
以說明這種形式。唯一清楚的是Ramanujan獨自發現這個定理的形式,這是一項值得重視
的成就，在他之前發現這些這個定理的人比如Legendre、高斯和Dirichlet都是偉大的數
學家。Ramanujan還發現其他一些更為深刻的公式，也許最好的式子是(15)，用簡單函數
(16)代替積分會更好些，但正如它所表示的1909年德國數學家Landau就給出一個證明，
Ramanujan的公式是正確的，且並沒有什麼明顯事實可以提示其真實性。
剩下要說的是，Ramanujan在這個領域工作幾乎沒有什麼持久的價值，解析數論是數
學的特殊分支，其中證明實際上就是一切，缺乏絕對的嚴格則一文不值。發現質數定理的
數學家成就與那些發現其證明的人相比是不足以掛齒的。不僅在這一理論中(如Littlewood
定理表明的)沒有證明就不能確信任何事實，雖然這一點很重要。質數定理以及其他這一
科目中重要定理的整個歷史表明，只有掌握了證明，你才能真正理解這一理論的數學結構
和意義，才能有一種出色的直覺引導你進行進一步的研究。做出聰明的猜想相較於證明是
容易的多，數論很多規則是清晰易懂但是難以證明，比如從未被證明的的歌德巴赫定理
是傻瓜也可能猜出來的。
質數理論依賴於Riemann Zeta函數的性質，尤其是零點的分布，Zeta函數ζ(s) 被
認為是複變數s的解析函數，Ramanujan對解析函數一無所知，以前我寫道:
由於忽視了複變函數理論,Ramanujan的質數理論是有缺陷的,他的方法依賴大規模
應用發散級數，他的證明站不住腳，這本來應該在意料之中，錯誤進一步深入許多事實結
果仍然是錯誤的，他得到經典公式的主要項，但是他們都不是像Ramanujan想像那樣精密
的近似值。
可以說這是他一項重大失敗……
如果我就此打住，就不應該再畫蛇添足，但是我再一次放任自己的感情。我繼續談論
"他的失敗比它所有的成功更奇妙"，那是一種不合情理的言過其實。試圖以別的理由來
搪塞這種失敗是無濟於事的，也許我們可以這樣說，他的失敗總而言說應該增加而不是減
少我們對他天賦的尊敬，因為它對他的想像力和多才多藝給了我們額外和驚人的佐證。
然而數學家的聲譽不能建立在失敗的嘗試和重新發現上，而必須主要地、正確地基於
十在地和創造性的成就。我不得不在這方面對Ramanujan辯護，我希望在以後的演講中做
到這點。
(高嶸翻譯 ；李文林 校)
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推 merribrook: 謝謝!先推再慢慢看 06/03 14:16
推 shawn81: 我居然看完了 06/04 18:03
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