推 feroseno: 原來如此,謝謝解說！ 06/27 23:35
※ 引述《feroseno (fero)》之銘言：
: 標題: [問題] 條件式賓果遊戲
: 時間: Mon Jun 26 17:55:51 2017
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: 一般9宮格賓果,一條線的機率是8/84
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: 但如果遊戲規則是這樣
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: 9宮格賓果
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: 每次1~9號碼隨機取一個,有可能會重覆,
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: 但重覆時,可任意選一個數字替代
:
: 這樣的話,連成一條線機率會變多少？
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: 推 LPH66: 8/84 看起來是九個數取三個, 你的問題也是取三次嗎? 06/26 17:59
: 對吼,還有取幾次的問題,那我想知道取三次連成一跳線的機率,
: 跟他會一直取下去,大概到幾次,他連成一條線的機率接近100%
假設任取數字是由自己挑選而非隨機. (否則與完全隨機一樣.)
就如同 LPH66 大的推文所述, 其實你的題目沒出完整:
因為重複時擺放任意號碼的策略會影響成功機率.
因此你得先給出你的策略, 這個題目才有意義.
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取三個時, 所謂的最佳策略比較沒有歧義, 就是貪婪地以連成一直線為目標即可.
考慮抽取第二個號碼時的情況, 有 1/9 的機率剛好與第一個重複,
有 48/81 的機率與第一個位於同一直線,
剩下的是不管第三個怎麼抽都不會連成一直線的情況.
故機率為 (1/9) * (1/3) + (48/81) * (1/3) = 19/81.
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然而第二個問題就不能對最佳策略的定義打混了.
一般來說, 最小化「達成連成一條線時」的「球數期望值」是很自然的選擇.
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但又面臨一個問題:
如果只以最小化球數期望值為目標, 你的策略可能會不唯一.
更糟糕的是, 這些最佳策略在每一步成功的機率並不保證是一樣的.
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不過這是一般而言.
現在我們面臨的是一個實際的問題, 因此還是可以試著算算看,
也許這些最佳策略恰好每一步成功的機率都是一樣的.
實際寫個程式去跑, 幸好正是如此:
球數 3 4 5 6 7 8 9
-----------------------------------------------------------------------------
機率 19/81 4237/6561 55073/59049 58889/59049 1 1 1
數值 0.234568 0.645786 0.932666 0.99729 1. 1. 1.
這邊順便把最佳策略列出來(up to symmetry):
000 000
000 → 010
000 000
100 100
000 → 010
000 000
010 010
000 → 010
000 000
000 100
010 → 010
000 000
100 101 100
001 → 001 or 011
000 000 000
010 010
100 → 110
000 000
010 010
100 → 110
001 001
其他情況是 easy cases, 直接連成一條線即可.
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※ 編輯: arthurduh1 (58.114.211.45), 06/26/2017 23:30:11