Re: [微積] 奇怪的數列....

[Eliphalet (真係廢到冇朋友)]

※ 引述《dreamingaway (Wherever I May Roam)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1D5l5n6U ]
: 作者: dreamingaway (Wherever I May Roam) 看板: Math
: 標題: [微積] 奇怪的數列....
: 時間: Sun Dec 26 15:40:30 2010
: a1 = 2
: a2 = 2 + 1/2
: a3 = 2 + 1/[2 + 1/2]
: a4 = 2 + 1/[  2 + 1/[2 + 1/2]  ]
: a5 = 2 + 1/[  2 + 1/[  2 + 1/[2 + 1/2]  ]  ]
: a6 = ..........................
: 請問收斂嗎？  請說明理由。
: (好怪的題目= =)

                     1
 有 a_{n+1} =  2 + -----  的關係 .
                    a_n


 所以 ,  對 n > 2 ,

                              1              1
 | a_n - a_{n-1} |   =  | ----------  -  ---------- |
                            a_{n-1}        a_{n-2}

                           1
                    \le  ----- | a_{n-1} -a_{n-2} |
                          2^2

 因此 ,
                           1                           1
 |a_n - a_{n-1} | \le  ----------- |a_2 - a_1| =  ----------- .
                         2^{2n-4}                   2^{2n-3}

 如果 m > n ,
                     m
 | a_m - a_n | \le  Σ   | a_k - a_{k-1} |
                    k=n+1

                     m          1
               \le  Σ    -------------
                   k=n+1      2^{2k-3}


                      32      1
               \le   ---- -----------
                       3    4^{n+1}

 因此 {a_n} 形成一 Cauchy sequence, 因此會收斂

 ( 數字好像算的怪怪的 ...)


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.127.113.15
推 newversion:太複雜了
→ newversion:數列遞增且 an < 3 ==> 收斂，這樣可否
推 newversion:弄錯，是遞減
 不行 絕對不是遞減 按按計算機可以觀察到

 a_1 = 2 , a_2 = 2.5 , a_3 = 2.4 , a_4 = 2.4167 , a_5 = 2.4138 , a_6 = 2.4143

 因此並不是遞減 (遞增) 會交錯著跑

 應該有   a_{2n+2} > a_{2n} , n = 1,2,3,...

          a_{2n-1} < a_{2n+1} , n = 1,2,3,...

          a_{2n} > a_{2n-1}, n = 1,2,3,...

 ( 都可以用歸納法搞定吧 )

※ 編輯: Eliphalet       來自: 122.127.116.200      (12/27 21:11)
推 newversion:我想到一法，定義一個新數列
推 newversion:{a_2n} , {a_2n-1} 均單調有界
→ newversion:所以極限存在
→ newversion:令 {b_n} = a_2n - a_(2n-1)
→ newversion:{bn} -> 0 => {a_2n}極限={a_2n-1}極限