推 m493401253:感謝!!! 203.71.175.121 03/03 12:27
※ 引述《m493401253 (m)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1DQq854s ]
: 作者: m493401253 (m) 看板: Math
: 標題: [微積] 二階偏微求極值觀念
: 時間: Mon Feb 28 14:34:42 2011
: 最近在幫個朋友解決一些微積分上的疑惑，發現我對於這部分的觀念非常薄弱
: 有請板上的高人指點~~
: 書上是這樣寫的：
: [Second Partial Test]
: Let f have continuous second partial derivatives on an open region containing
: a point (a,b) for which f (a,b)=0 and f (a,b)=0
: x y
: the test for relative extrema of f,consider the quantity
: d=f (a,b)*f (a,b) - [f (a,b)]^2
: xx yy xy
: (1) If d>0 and f (a,b)>0 , then f has a relative minimum at (a,b)
: xx
: (2) If d>0 and f (a,b)<0 , then f has a relative maxmium at (a,b)
: xx
: (3) If d<0 , then (a,b,f(a,b)) is a saddle point
: (4) The test is inconclusive if d=0
: 這個看不太懂~(以前修課時好像就是把它硬背起來~教授我對不起你Orz)
: 我想知道那個d是怎麼得到的~還有為何看d 和 f 的正負就能知道是極大或極小值發生處
: xx
d 就是 Hessian matrix D^2f 在 (a,b) 的行列式值
如果 f_{xx}(a,b) > 0 且 d > 0 由假設可以得到 d = AB - C^2 > 0
A = f_{xx}(a,b) , B = f_{yy}(a,b) , C = f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)
=> AB > C^2 ≧ 0 但 A > 0 所以 B > 0
可以得到 D^2f(a,b) 是 positive definite 的
( 在這點附近凹口向上 )
因此會在 (a,b) 產生最小值
同理 , f_{xx}(a,b) < 0 且 d > 0 則 D^2f(a,b) 是 negative definite
因此會在 (a,b) 產生最大值
如果 d < 0 , 則 D^2f(a,b) 的兩個 eigenvalue 分別為一正一負
會產生 saddle point
如果 d = 0 , 什麼情況都有可能 例如
1. local maximum f(x,y) = 1 - x^2, (a,b) = (0,0)
2. local minimum f(x,y) = x^2, (a,b) = (0,0)
3. saddle point f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2), (a,b) = (0,0)
: 另外，書上還提及可以將d改寫成二階行列式值的表示法
: │f (a,b) f (a,b)│
: │ xx xy │
: d=│ │
: │f (a,b) f (a,b)│
: │ yx yy │
: 這個我有看懂~只是想問：
: 當變數三個以上時，是不是也可以同理用三階行列式表示d，在看其中一變數的二次偏微
: 的正負判斷極大極小值發生處？
這個可能有點問題 ?
基本上就判斷 Hessian matrix 的 eigenvalue
全正 : 最小值
全負 : 最大值
有正有負 : saddle point
這東西很久沒碰了 可能有些錯誤...
: 先謝謝各位了!!
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