推 burder95121 : 詳細推！謝謝！ 04/26 14:51
※ 引述《burder95121 (xxxx久久萬xxx)》之銘言：
: http://ppt.cc/HO~T
: http://ppt.cc/Egis
: 我的積分觀念不是很好...
: 第一張圖片的步驟跳太快看不太懂
: 第一個式子的x~1 變成 0~y 以及第二個式子ye^(y^2) 轉換方式看不太懂
: 第二張圖片是台大100微C第10題 看了板上的文章還是不太懂
: ACD 板上有高手說是圓 可是看不太出來
: 也希望運算式能夠清楚一點
: dx跟dy轉換我頭腦轉不太過來@@
: 或者是能提供相關詳細觀念的網站
: 拜託各位了!
1.
1 1
原積分 = ∫ ∫ e^(y^2) dydx
0 x
先來看積分區域：當 x 固定於 0 和 1 之間， y 範圍從 x 到 1
所以積分區域是你圖裡 R 的上半塊直角三角形；
又我們可以這樣來看這積分區域：固定 y 介於 0 和 1， x 範圍從 0 到 y
由 Fubini 定理可以知道，
1 1 1 y
∫ ∫ e^(y^2) dydx = ∫ ∫ e^(y^2) dxdy
0 x 0 0
1
= ∫ y e^(y^2) dy
0
= 1/2 * (e-1)
2.
先跟你說這題目有問題，圖裡的積分順序有錯是 dydx 而不是 dxdy
( 看到了嗎，一開始的積分區域是 0 到 sqrt(2x-x^2) )
跟 1 一樣，先找出積分區域：固定 x 介於 0 和 2， y 範圍從 0 到 sqrt(2x-x^2)
所以積分區域是 R = {(x,y): -1≦x-1≦1，0≦y≦sqrt(1-(x-1)^2)}
= {(x,y): (x-1)^2 + y^2 = 1 and y ≧ 0}
= 以 (1,0) 為圓心， 1 為半徑之上半圓 (y ≧ 0)
可令坐標變換 x = 1+rcosθ， y = rsinθ， |J| = r
π 1
原積分變成 ∫ ∫ (r^2 + 2rcosθ + 1) rdrdθ
0 0
π
= ∫ 3/4 + 2/3 cosθ dθ
0
= 3/4 π
π/2
(A) 的 I = ∫ 4 cos^4(θ) dθ = 4 * (3/8) π = 3/2 π； 錯
-π/2
π/2
(B) 的 I = ∫ 8/3 cos^3(θ) dθ = 32/3 ; 錯
-π/2
(C) 的 I 剛好是我們求的積分的兩倍; 錯
(D) 的 I 等於 A 的 I; 錯
(E) 這是對的
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總結一下，如果你說答案有 (A)、(C)、(D) 的話，那麼合理懷疑
原出題者想出的是
2 sqrt(2x-x^2)
∫ ∫ (x^2+y^2) dydx
0 -sqrt(2x-x^2)
那麼答案就會是 (A)、(C)、(D)、(E)
不過這題目漏洞還真多...
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