推 allenchen821: 謝謝您的解答,第一次看到用euler constant 解 ,小弟 06/08 19:24
→ allenchen821: 弟資質駑鈍,要再研究一夏,謝謝你提供這方法 06/08 19:26
推 BaBi : 這篇寫得比較詳細一點，上面我這樣寫在計算的確會有 06/08 22:57
→ BaBi : 被挑小毛病的疑慮:) 06/08 22:58
※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)》之銘言：
: ※ 引述《allenchen821 (Allen)》之銘言：
: : 想請教一下,小弟是不是有甚麼觀念沒弄懂
: : 1 1 1 1 1
: : lim－>無限[－－－ +－－－+－－－+－－－........+－－－ ]之值為何?
: : n+1 n+2 n+3 n+4 3n+1
: : 謝謝抽空解答.^_^
: 1 1 1 1
: lim (---) [ ----------- + ----------- + ... + --------------]
: n->∞ n 1 + (1/n) 1 + (2/n) 1 + (2n+1)/n
: 2 1
: = ∫ ------- dx = ln(1+2) - ln(1+0) = ln3
: 0 1 + x
: 所以你要請教的觀念在哪?
: 你只打了題目上來怎麼讓人知道你哪裡不懂呢?
騙點 P 幣
[.] 不知道是中括號還是高斯符號，我前一篇是把它當作高斯符號
上面寫的有一咪咪的問題
1 1 2 dx
lim (1/n) (--------- + ... + ------------- ) = ∫ -----
n→∞ 1+(1/n) 1 +(2n+1)/n 0 1+x
這式子是對的，但是上面論證有一些些問題
上面的式子是從 f(x) = 1/(1+x) 對區間 [0,2] uniform partition 的下和
來下手(沒錯吧？)
但是 (2n+1)/n > 2，已經跑出去右端點之外了 ...
所以尚需要把 1/(3n+1) 剔除掉
我是認為下面這樣寫比較不會被挑毛病
1 1 1 1 1 1 1
----- + ----- + ... + ------ = {----- + ----- + ... + ----} + ------
n+1 n+2 3n+1 n+1 n+2 3n 3n+1
= (1/n) {1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) + ... + 1/3 } + 1/(3n+1)
故 lim { 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1)}
n→∞
= lim (1/n) {1/(1+1/n) + ... + 1/3}
n→∞
2 dx
= ∫ ----- = ln(3)
0 1+x
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