Re: [微分] 101 東華 計算(3)

[Eliphalet (Mournful Monday)]

※ 引述《EggAche (蛋疼)》之銘言：
: A real number c such that f(c)=c is call a fixed point of the function
: f. Prove that if f is differentiable and f'(x)≠1 for all x in an
: interval I, then f has at most one fixed point in I.
: 之前在書上遇到的都是給定 x=0 x=1 的條件
: 配合具備連續性而有的中間值定理來證明,
: 今天條件只給了可微分(暗中應該也是給了連續的條件),
: 又 f'(x)≠1 就沒什麼頭緒了...
: 這類存在性定理的證明感覺會和均值定理有關係，
: 能給些思路嗎?

→ keith291    : 反證法  假如有多於一個固定點,任取其中兩個
→ EggAche     : 看到反證法我才發現題目是要證明最多只有一...
→ keith291    : f(a)=a,f(b)=b,在a,b之間由均值定理必有一點f斜率1
→ keith291    : 矛盾

  基本上題目要你證明的思路大致如 keith291 推文所言，我這裡給一個

  稍微不同的證明

  由你的題設， f' 要嘛是恆大於 1 ， 要嘛是恆小於 1

  (假如有 [a,b] 包含於 I 使得 f'(a) < 1 < f'(b)，則 f(x)-x 在 [a,b]

   的最小值一定發生在 (a,b)，因此在內部可找到一點 t 使得 f'(t) = 1

   矛盾;另一情況 f'(a) > 1 > f(b) 類似)

  在這種情況下，

  1. 要嘛沒有 fixed point (搞定)

  2. 要嘛只能有一個 fixed point

     假如 c 為一 fixed point，假設 f' > 1 ，則由微積分基本定理

      x > c 時， f(x) > x ; x < c 時， f(x) < x

     所以 f 只有 c 這個 fixed point


                                                     證明完畢

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